ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Если исходное число записано цифрами $a_1{a}_2\dots a_k$, то получается запись

$$a_1(a_1+a_2)a_2(a_2+a_3)a_3\dots a_k,$$

где каждая сумма — число от $0$ до $18$, то есть одна или две цифры.

а) Подходит число $1689$. Действительно, $1+6=7$, $6+8=14$, $8+9=17$, и получается

$$1\underline{7}6\underline{14}8\underline{17}9=176148179.$$

Как его найти: первая цифра — $1$. Следующая запись $7$ — это сумма $1+a_2$, значит, $a_2=6$, и дальше действительно стоит $6$. Затем сумма $6+a_3$ не меньше $6$; запись $1$ меньше $6$, поэтому сумма двузначная: $14$, и $a_3=8$. Так же $8+a_4=17$ даёт $a_4=9$.

б) Нет, не может. Будем восстанавливать цифры числа $3107611090$ слева направо.

Первая цифра $a_1=3$. Сумма $3+a_2$ не меньше $3$. Следующая цифра записи — $1$, а однозначная сумма не может быть равна $1$. Значит, сумма двузначная, и это $10$, то есть $a_2=7$. Дальше в записи действительно стоит $7$:

$$3\underline{10}7\dots$$

Следующая сумма $7+a_3$ лежит от $7$ до $16$: это либо однозначное число $7,8,9$, либо двузначное, начинающееся с $1$. Но в записи дальше стоит цифра $6$ — противоречие. Значит, такое число получиться не может.

в) Пусть исходное число $\overline{abc}$. Получается число

$$N=\overline{a(a+b)b(b+c)c}.$$

Если обе суммы $a+b$ и $b+c$ не меньше $10$, то $N$ семизначное, иначе в нём пять или шесть цифр. Любое семизначное число больше любого пяти- или шестизначного, а семизначные $N$, кратные $11$, существуют (пример ниже). Поэтому наибольшее $N$ ищем среди семизначных.

Пусть $a+b=10+x$, $b+c=10+y$, где $x,y$ — цифры. Тогда

$$N=\overline{a1xb1yc}.$$

Признак делимости на $11$: число делится на $11$ тогда и только тогда, когда разность сумм его цифр на нечётных и на чётных местах делится на $11$. Цифры на нечётных местах: $a,x,1,c$; на чётных: $1,b,y$. Подставим $x=a+b-10$, $y=b+c-10$:

$$(a+x+1+c)-(1+b+y)=a+(a+b-10)+c-b-(b+c-10)=2a-b.$$

Итак, $N$ делится на $11$ тогда и только тогда, когда $2a-b$ делится на $11$.

Оценка. Первая цифра $N$ равна $a$, поэтому наибольшее $N$ получается при наибольшем возможном $a$. Проверим $a=9$: тогда $18-b$ делится на $11$, а $0⩽b⩽9$, значит, $18-b=11$ и $b=7$. При этом $a+b=16$, $x=6$, и

$$N=\overline{91671yc},y=7+c-10=c-3,c⩾3.$$

Чем больше $c$, тем больше $y$ и $c$, а значит, и $N$. Наибольшее значение — при $c=9$, $y=6$: $N=9167169$. Любое семизначное $N$ с $a⩽8$ начинается с меньшей цифры и меньше. Итак, $N⩽9167169$.

Пример. Из числа $979$ получается $9167169=9167169$. Проверка признаком: $(9+6+1+9)-(1+7+6)=25-14=11$ делится на $11$; действительно, $9167169=11\cdot 833379$.

Ответ: а) например, $1689$; б) нет; в) $9167169$.