ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — последовательности и прогрессии

Разбор — 4 балла

Последние цифры чисел не равны нулю, поэтому среди четырёх последовательных чисел нет кратного $10$, и все они лежат в одном десятке:

$$10t+d,10t+d+1,10t+d+2,10t+d+3,1⩽d,d+3⩽9.$$

Каждое число делим на его последнюю цифру: $\frac{10t+c}{c}=\frac{10t}{c}+1$. Поэтому

$$S=10t\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+2}+\frac{1}{d+3}\right)+4.$$

а) Да, может. Возьмём числа $12,13,14,15$:

$$\frac{12}{2}+\frac{13}{3}+\frac{14}{4}+\frac{15}{5}=6+4\frac{1}{3}+3\frac{1}{2}+3=16+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=16\frac{5}{6}.$$

б) Нет, не может. Сумма в скобках приводится к общему знаменателю — НОК последних цифр, поэтому знаменатель несократимой записи $S$ делит НОК чисел $d,d+1,d+2,d+3$. Если $S=569\frac{29}{126}$, то $126=2\cdot 7\cdot 9$ делит этот НОК. На $9$ среди цифр делится только $9$, значит, $d+3=9$, и последние цифры — $6,7,8,9$. Тогда

$$\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}=\frac{84+72+63+56}{504}=\frac{275}{504},S=10t\cdot \frac{275}{504}+4=\frac{1375t}{252}+4.$$

Приравняем:

$$\frac{1375t}{252}=569\frac{29}{126}-4=565\frac{29}{126}=\frac{565\cdot 126+29}{126}=\frac{71219}{126},$$

$$1375t=2\cdot 71219=142438.$$

Левая часть делится на $5$ (так как $1375=5^3\cdot 11$), а $142438$ на $5$ не делится. Натурального $t$ нет, поэтому такое $S$ невозможно.

в) Числа трёхзначные, поэтому $10⩽t⩽99$.

Оценка. Если $d⩾2$, то каждая последняя цифра не меньше $2$, и каждое частное не больше $\frac{999}{2}$. Тогда

$$S⩽4\cdot \frac{999}{2}=1998.$$

Если $d=1$, то последние цифры $1,2,3,4$ и

$$S=10t\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+4=10t\cdot \frac{25}{12}+4=\frac{125t}{6}+4.$$

Это число целое, только если $125t$ делится на $6$, а так как $125$ и $6$ взаимно просты, — если $t$ делится на $6$. Наибольшее такое $t⩽99$ равно $96$, поэтому

$$S⩽\frac{125\cdot 96}{6}+4=2000+4=2004.$$

В обоих случаях целое $S$ не больше $2004$.

Пример. Числа $961,962,963,964$:

$$\frac{961}{1}+\frac{962}{2}+\frac{963}{3}+\frac{964}{4}=961+481+321+241=2004.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $2004$.