ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Пусть $a$ детей потратили по $30$ рублей, а $b$ детей — по $140$ рублей. Детей $n$, и не все потратили поровну, поэтому

$$a+b=n,a⩾1,b⩾1.$$

Вся выручка парка равна $30a+140b$ рублей. Одно посещение стоит $10$ рублей, поэтому выручка каждого аттракциона кратна $10$. Ребёнок может ходить на разные аттракционы, и одно посещение можно отдать любому аттракциону, поэтому деньги детей можно распределить по аттракционам как угодно — лишь бы каждая выручка была кратна $10$, а сумма выручек равнялась $30a+140b$. Например, выстроим все посещения в ряд (сначала посещения первого ребёнка, затем второго и так далее) и отдадим первому аттракциону нужное ему число первых посещений, второму — следующие и так далее.

а) Да, может. Если каждый аттракцион выручил $80$ рублей, то вся выручка $80n$:

$$80n=30a+140b,8n=3(a+b)+11b=3n+11b,5n=11b.$$

Подходит $n=11$, $b=5$, $a=6$. Пример: $11$ аттракционов, $6$ детей потратили по $30$ рублей, $5$ детей — по $140$ рублей. Всего

$$6\cdot 30+5\cdot 140=180+700=880=11\cdot 80\text{рублей},$$

то есть $88$ посещений. Отдадим каждому аттракциону по $8$ посещений, как описано выше, — каждый выручит ровно $80$ рублей.

б) Оценка. Пусть каждый аттракцион выручил $10x$ рублей, где $x$ — натуральное число посещений. Тогда

$$10xn=30a+140b,xn=3a+14b=3(a+b)+11b=3n+11b,$$

то есть $11b=(x-3)n$ делится на $n$. Если $n$ не делится на $11$, то $n$ и простое число $11$ взаимно просты, и тогда $b$ делится на $n$. Но $1⩽b⩽n-1$ — противоречие. Значит, $n$ делится на $11$, и $n⩾11$.

Пример. Пример с $n=11$ построен в пункте а): все аттракционы выручили по $80$ рублей.

в) Оценка. Выручки всех $n$ аттракционов различны и кратны $10$, а наименьшие $n$ различных неотрицательных чисел, кратных $10$, — это $0,10,20,\dots ,10(n-1)$. Поэтому вся выручка не меньше

$$0+10+\dots +10(n-1)=10\cdot \frac{(n-1)n}{2}=5n(n-1).$$

С другой стороны, хотя бы один ребёнок потратил $30$ рублей, а остальные — не больше $140$, поэтому вся выручка не больше

$$140(n-1)+30=140n-110.$$

Значит,

$$5n(n-1)⩽140n-110,n^2-29n+22⩽0,n(n-29)+22⩽0.$$

При $n⩾29$ левая часть не меньше $22>0$, поэтому $n⩽28$.

Пример. $n=28$: $27$ детей потратили по $140$ рублей, один ребёнок — $30$ рублей. Всего $27\cdot 140+30=3810$ рублей, то есть $381$ посещение. Пусть $27$ аттракционов выручили $0,10,20,\dots ,260$ рублей, а последний — $300$ рублей. Все выручки различны, и их сумма

$$10\cdot \frac{26\cdot 27}{2}+300=3510+300=3810$$

совпадает с потраченными деньгами, так что посещения можно распределить так, как описано в начале.

Ответ: а) да; б) $11$; в) $28$.