ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Если число $n$ начинается с цифры $a$, то после деления получаем $\frac{n}{a}$; в несократимой записи знаменатель этой дроби делит $a$. У однозначного числа первая цифра совпадает с самим числом, и частное равно $1$.

а) Да, может. Возьмём числа $89,90,91,92$:

$$S=\frac{89}{8}+\frac{90}{9}+\frac{91}{9}+\frac{92}{9}=11\frac{1}{8}+10+10\frac{1}{9}+10\frac{2}{9}.$$

Сложим целые и дробные части:

$$S=41+\frac{1}{8}+\frac{3}{9}=41+\frac{1}{8}+\frac{1}{3}=41+\frac{3}{24}+\frac{8}{24}=41\frac{11}{24}.$$

б) Нет, не может. Приведём четыре частных к общему знаменателю — наименьшему общему кратному первых цифр. Тогда знаменатель несократимой записи $S$ делит это НОК. Если $S=569\frac{29}{72}$, то знаменатель $72=8\cdot 9$ делит НОК первых цифр. Первые цифры — числа от $1$ до $9$, и на $8$ из них делится только $8$, а на $9$ — только $9$. Значит, среди четырёх чисел есть число, начинающееся с $8$, и число, начинающееся с $9$.

Числа отличаются друг от друга не больше чем на $3$. Число, начинающееся с $9$, лежит от $9\cdot 10^k$ до $10^{k+1}-1$, а ближайшие к нему числа, начинающиеся с $8$, стоят прямо перед $9\cdot 10^k$. Поэтому все четыре числа лежат около границы $9\cdot 10^k$: от $9\cdot 10^k-3$ до $9\cdot 10^k+3$. Разберём варианты.

• $k=0$ или $k=1$: все числа не больше $93$. Однозначные числа дают частное $1$, а двузначные начинаются с $8$ или $9$, и их частное не больше $\frac{89}{8}<12$. Тогда $S<4\cdot 12=48$.
• $k=2$: числа от $897$ до $903$, первая цифра $8$ или $9$, каждое частное не больше $\frac{899}{8}<113$ (числа на $9$ дают не больше $\frac{903}{9}<101$). Тогда $S<4\cdot 113=452$.
• $k⩾3$: каждое число не меньше $8997$, а первая цифра не больше $9$, поэтому каждое частное не меньше $\frac{8997}{9}>999$. Тогда $S>3996$.

Ни в одном случае $S$ не может равняться $569\frac{29}{72}$: это число больше $452$ и меньше $3996$.

в) Все четыре числа от $400$ до $999$, поэтому первые цифры — от $4$ до $9$.

Оценка. Разберём случаи.

1. Все четыре числа начинаются с $4$: $m,m+1,m+2,m+3$. Тогда

$$S=\frac{m+(m+1)+(m+2)+(m+3)}{4}=\frac{4m+6}{4}=m+\frac{3}{2}$$

— не целое.

2. Среди чисел есть начинающиеся с $4$ и с $5$. Это возможно только для наборов вокруг $500$: наборы $497$–$500$, $498$–$501$, $499$–$502$. Для них

$$\frac{497+498+499}{4}+\frac{500}{5}=473,5,\frac{498+499}{4}+\frac{500+501}{5}=449,45,\frac{499}{4}+\frac{500+501+502}{5}=425,35$$

— ни одно не целое.

3. Все четыре числа начинаются с $5$: $m,\dots ,m+3$, где $m+3⩽599$, то есть $m⩽596$. Тогда

$$S=\frac{4m+6}{5}⩽\frac{4\cdot 596+6}{5}=\frac{2390}{5}=478.$$

4. Среди чисел есть начинающееся с цифры $d⩾6$. Тогда все числа не меньше $597$, то есть начинаются с $5$ или с большей цифры. Число с первой цифрой $5$ даёт частное не больше $\frac{599}{5}<120$. Число с первой цифрой $d⩾6$ имеет вид $100d+q$, где $q⩽99$, и его частное

$$\frac{100d+q}{d}=100+\frac{q}{d}⩽100+\frac{99}{6}=116,5<117.$$

Хотя бы одно частное меньше $117$, остальные меньше $120$, поэтому $S<3\cdot 120+117=477$.

Во всех случаях целое $S$ не больше $478$.

Пример. Числа $596,597,598,599$:

$$S=\frac{596+597+598+599}{5}=\frac{2390}{5}=478.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $478$.