ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Обозначим через $s$ количество синих карточек, через $r$ — количество красных. По условию наибольшее красное число равно $3s$, а наибольшее синее равно $r$; значит, $r$ делится на $5$.

Нам понадобится подсчёт. Наименьшее число, кратное $3$ и большее $-30$, — это $-27$; наименьшее число, кратное $5$ и большее $-30$, — это $-25$. Поэтому:

• красные числа — различные кратные $3$ от $-27$ до $3s$, а всего таких чисел $\frac{3s-(-27)}{3}+1=s+10$, значит, $r⩽s+10$;
• синие числа — различные кратные $5$ от $-25$ до $r$, а всего таких чисел $\frac{r-(-25)}{5}+1=\frac{r+30}{5}$, значит, $s⩽\frac{r+30}{5}$.

а) Да, может. Пример: одна синяя карточка с числом $5$ и пять красных карточек с числами $-9,-6,-3,0,3$.

Проверим условия. Синее число $5$ делится на $5$, красные числа различны, делятся на $3$, все числа больше $-30$. Наибольшее красное число $3$ равно утроенному количеству синих карточек: $3\cdot 1=3$. Наибольшее синее число $5$ равно количеству красных карточек: их $5$.

б) Нет, не может. Пусть $s=40$. Тогда наибольшее красное число равно $3\cdot 40=120$, и красных карточек не больше

$$r⩽s+10=50.$$

С другой стороны, $40$ различных синих чисел должны поместиться среди кратных $5$ от $-25$ до $r$:

$$40⩽\frac{r+30}{5},r⩾170.$$

Получили $170⩽r⩽50$ — противоречие.

в) Оценка. Из двух неравенств подсчёта:

$$r⩽s+10,5s⩽r+30,\text{то есть}r⩾5s-30.$$

Отсюда

$$5s-30⩽r⩽s+10,4s⩽40,s⩽10.$$

Пример. Пусть $s=10$. Тогда неравенства дают $20⩽r⩽20$, то есть $r=20$. Возьмём:

• $10$ синих карточек с числами $-25,-20,-15,-10,-5,0,5,10,15,20$;
• $20$ красных карточек с числами $-27,-24,-21,\dots ,24,27,30$ (все кратные $3$ от $-27$ до $30$, их $\frac{30+27}{3}+1=20$).

Проверка: все числа больше $-30$, синие различны и делятся на $5$, красные различны и делятся на $3$. Наибольшее красное число $30=3\cdot 10$ — утроенное число синих карточек. Наибольшее синее число $20$ — количество красных карточек.

Ответ: а) да; б) нет; в) $10$.