ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — последовательности и прогрессии

Разбор — 4 балла

Сначала поймём, какие переходы вообще возможны. Если следующее число делится на предыдущее $b$, то оно равно $bk$ с натуральным $k$. При $k=1$ число просто повторяется. При $k⩾3$ получаем $bk⩾80\cdot 3=240>170$ — так нельзя. Значит, остаются три перехода: повторить число, умножить его на $2$ или уменьшить на $2$.

а) Да, может. Пример: $158,156,154,\dots ,82,80$ — каждое следующее число на $2$ меньше предыдущего. Все числа лежат от $80$ до $170$, и их количество равно

$$\frac{158-80}{2}+1=40.$$

б) Да, может. Пример:

$$159,157,\dots ,83,81,162,160,\dots ,86,84.$$

Сначала идут нечётные числа от $159$ до $81$ с шагом $-2$: их $\frac{159-81}{2}+1=40$. Затем $162=81\cdot 2$ делится на $81$. Потом чётные числа от $162$ до $84$ с шагом $-2$: их $\frac{162-84}{2}+1=40$. Нечётные и чётные числа не совпадают, поэтому всего $80$ различных чисел, и все они от $80$ до $170$.

в) От $80$ до $170$ всего $91$ натуральное число. Покажем, что наибольшее количество различных чисел равно $90$.

Оценка. Заметим: если в последовательности появилось чётное число, то все следующие числа тоже чётные — повтор, умножение на $2$ и вычитание $2$ из чётного числа дают чётное число. Значит, нечётные числа (если они есть) стоят в самом начале, и между ними возможны только повторы и вычитание $2$. Поэтому нечётные члены идут подряд и не возрастают.

Предположим, что встретились все $91$ число, в том числе $170$. Рассмотрим первое появление числа $170$. Получить его вычитанием $2$ нельзя: $172>170$. Повтором тоже нельзя — это первое появление. Остаётся, что $170$ — первый член последовательности, либо перед ним стоит делитель числа $170$ из промежутка $[80;170]$, то есть $85$.

• Если $170$ — первый член, то все члены чётные (после чётного числа идут только чётные), и нечётных чисел нет вообще. Тогда различных чисел не больше $46$.
• Если перед $170$ стоит $85$, то все нечётные члены идут до $170$ и не возрастают, а последний из них — $85$. Значит, нечётные числа $83$ и $81$ в последовательности не встречаются, и различных чисел не больше $91-2=89$.

В обоих случаях все $91$ число получить нельзя, поэтому различных чисел не больше $90$.

Пример. Последовательность

$$169,167,\dots ,83,81,162,160,\dots ,86,84,168,166,\dots ,82,80.$$

Проверим переходы: внутри каждого куска числа уменьшаются на $2$; $162=81\cdot 2$ и $168=84\cdot 2$ делятся на предыдущее число. Все числа лежат от $80$ до $170$. В последовательности есть все $45$ нечётных чисел от $81$ до $169$ и все чётные числа от $80$ до $168$ — их тоже $45$ (числа от $84$ до $162$ встречаются по два раза, это разрешено). Не хватает только числа $170$, итого $90$ различных чисел.

Ответ: а) да; б) да; в) $90$.