ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Упорядочим числа по возрастанию: $a_1<a_2<\dots$. Числа натуральные и различные, поэтому каждое следующее хотя бы на $1$ больше предыдущего.

Самое маленькое произведение — $a_1{a}_2$, оно больше $40$. Так как $a_2>a_1$,

$$a_2^2>a_1{a}_2>40,$$

а $6^2=36<40$, поэтому $a_2⩾7$.

а) Да, может. Пример: $6,7,8,9,10$. Наименьшее из попарных произведений равно произведению двух наименьших чисел $6\cdot 7=42>40$, наибольшее — произведению двух наибольших $9\cdot 10=90<100$. Значит, все произведения лежат между $40$ и $100$.

б) Нет, не может. Пусть чисел шесть. Так как $a_2⩾7$, получаем

$$a_5⩾a_2+3⩾10,a_6⩾a_5+1⩾11,$$

и тогда $a_5{a}_6⩾10\cdot 11=110>100$ — противоречие с условием.

в) Пусть чисел четыре: $a_1<a_2<a_3<a_4$.

Оценка. Так как $a_3<a_4$,

$$a_3^2<a_3{a}_4<100,$$

поэтому $a_3⩽9$. С другой стороны, $a_3⩾a_2+1⩾8$. Остаются два случая.

• $a_3=8$. Тогда $a_2=7$ (так как $7⩽a_2<8$), $a_1⩽6$, а из $8a_4<100$ получаем $a_4⩽12$. Сумма не больше $6+7+8+12=33$.
• $a_3=9$. Из $9a_4<100$ получаем $a_4⩽11$, кроме того, $a_2⩽8$ и $a_1⩽7$. Сумма не больше $7+8+9+11=35$.

В обоих случаях сумма не больше $35$.

Пример. Числа $7,8,9,11$. Все попарные произведения:

$$7\cdot 8=56,7\cdot 9=63,7\cdot 11=77,8\cdot 9=72,8\cdot 11=88,9\cdot 11=99.$$

Все они больше $40$ и меньше $100$, а сумма $7+8+9+11=35$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $35$.