ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

а) Нет, не может: склад объёмом $120$ м³ всегда заполняется полностью. Пусть стороны склада $a,b,c$ — целые числа, $abc=120$. Число $120$ делится на простое число $3$, значит, на $3$ делится хотя бы одна сторона, скажем $a=3m$.

Разобьём пол склада $b\times c$ на $bc$ клеток $1\times 1$. Над каждой клеткой стоит «столбик» $1\times 1\times a$, и в него ровно помещаются $m$ контейнеров, положенных длинной стороной вдоль $a$. Всего $m\cdot b\cdot c=40$ контейнеров объёмом $40\cdot 3=120$ м³ — склад заполнен целиком.

б) Да, может. Возьмём склад $2\times 2\times 25$, его объём $100$ м³. Ребро контейнера длины $3$ не может идти вдоль рёбер склада длины $2$, поэтому каждый контейнер лежит длинной стороной вдоль ребра $25$.

Если класть контейнеры строго по клеткам, склад делится на четыре столбика $1\times 1\times 25$, и в каждый входит не больше $8$ контейнеров ($9\cdot 3=27>25$), всего не больше $32$. Но контейнеры можно сдвигать не на целое число метров, поэтому докажем оценку аккуратно.

Посмотрим на торец склада — квадрат $2\times 2$ с координатами $x,y$ от $0$ до $2$. Каждый контейнер виден на торце как квадрат $1\times 1$: $u⩽x⩽u+1$, $v⩽y⩽v+1$, где $0⩽u⩽1$, $0⩽v⩽1$. Контейнеров конечное число, поэтому можно выбрать число $\alpha$ из интервала $(0;1)$, не совпадающее ни с одним $u$, и число $\beta$ из $(0;1)$, не совпадающее ни с одним $v$. Отметим на торце четыре точки с $x\in \{\alpha ;\alpha +1\}$ и $y\in \{\beta ;\beta +1\}$.

Каждый квадрат контейнера содержит строго внутри ровно одну из этих точек. Действительно, если $u<\alpha$, то $u<\alpha <1⩽u+1$, и $\alpha$ лежит строго внутри отрезка $[u;u+1]$, а $\alpha +1>u+1$ — снаружи. Если $u>\alpha$, то $\alpha$ снаружи, а $u<\alpha +1<u+1$. По $y$ — то же самое.

Проведём через четыре точки прямые вдоль длинного ребра склада — четыре отрезка длины $25$. Каждый контейнер протыкается ровно одним из них по отрезку длины $3$. Если два контейнера проткнуты одним и тем же отрезком и их участки на нём перекрываются, то у контейнеров есть общие внутренние точки, а так быть не может. Значит, на каждом отрезке участки контейнеров не перекрываются, и их не больше $8$, так как $9\cdot 3=27>25$. Всего контейнеров не больше

$$4\cdot 8=32<33.$$

Итак, $33$ контейнера на такой склад не поместятся.

в) Покажем, что гарантированно удаётся заполнить $99\%$ объёма.

Оценка (больше $99\%$ гарантировать нельзя). Возьмём склад $2\times 2\times 200$, его объём $800$ м³. Как в пункте б), все контейнеры лежат вдоль ребра $200$, каждый протыкается одним из четырёх отрезков длины $200$, и на каждом отрезке помещается не больше $66$ контейнеров, так как $66\cdot 3=198⩽200<201=67\cdot 3$. Всего не больше $4\cdot 66=264$ контейнеров, их объём не больше

$$264\cdot 3=792{\text{м}}^3=\frac{792}{800}\cdot 100\%=99\%.$$

На этом складе больше $99\%$ заполнить нельзя.

Пример (на любом складе объёмом $800$ м³ можно заполнить хотя бы $99\%$). Пусть склад $a\times b\times c$. Если $a⩾3$, отрежем от него слой $3\times b\times c$. Этот слой заполняется целиком, как в пункте а): $bc$ столбиков $3\times 1\times 1$, в каждом один контейнер. Останется склад $(a-3)\times b\times c$.

Будем отрезать такие слои, пока длина вдоль $a$ не станет меньше $3$, затем то же сделаем вдоль $b$ (слои $a^{\prime }\times 3\times c$ заполняются контейнерами, лежащими вдоль $b$) и вдоль $c$. В конце останется незаполненный параллелепипед, у которого все измерения равны $0,1$ или $2$, его объём не больше $2\cdot 2\cdot 2=8$ м³. Значит, заполнено не меньше $800-8=792$ м³, то есть не меньше $99\%$.

Ответ: а) нет; б) да; в) $99\%$.