ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

а) Да, может. Возьмём числа $18,36,72$ — различные двузначные. Так как $18\cdot 72=1296=36^2$,

$$\sqrt[3]{18\cdot 36\cdot 72}=\sqrt[3]{36^2\cdot 36}=\sqrt[3]{36^3}=36.$$

Два факта для пунктов б) и в). Пусть $k$ различных двузначных чисел имеют целое среднее геометрическое $g$, то есть их произведение равно $g^k$.

1. Наименьшее число $a$ набора меньше $g$. Действительно, если бы все числа были не меньше $g$, то, так как они различны, хотя бы одно было бы больше $g$, и произведение оказалось бы больше $g^k$.

2. Каждое число набора делит $g^k$, поэтому в его разложение входят только те простые множители, что и в $g$.

Значит, должно найтись двузначное $a<g$, все простые множители которого делят $g$. В частности, $g>a⩾10$. Проверим $g$ от $11$ до $24$:

$$\begin{array}{ccc}g& \text{простые множители }g& \text{подходящие }a(10⩽a<g)\\ 11,13,17,19,23& g& \text{нет}\\ 12& 2,3& \text{нет}\\ 14& 2,7& \text{нет}\\ 15& 3,5& \text{нет}\\ 16& 2& \text{нет}\\ 18& 2,3& 12,16\\ 20& 2,5& 10,16\\ 21& 3,7& \text{нет}\\ 22& 2,11& 11,16\\ 24& 2,3& 12,16,18\end{array}$$

Например, при $g=16$ число $a$ должно быть степенью двойки от $10$ до $15$, а таких нет; при $g=21$ — числом вида $3^i{7}^j$ от $10$ до $20$, а таких тоже нет. Итак, целым средним геометрическим (не больше $24$) могут быть только $18,20,22,24$.

б) Пусть $a<b<c<d$ — различные двузначные числа.

Оценка. По таблице $g⩾18$. Докажем, что $g=18$ невозможно. Тогда

$$abcd=18^4=2^4\cdot 3^8,$$

и все четыре числа имеют вид $2^i{3}^j$. По таблице $a=12$ или $a=16$.

• $a=16=2^4$. Вся двойка из произведения уже израсходована, поэтому $b,c,d$ — степени тройки. Двузначных степеней тройки только две: $27$ и $81$. Трёх различных чисел не набрать.
• $a=12=2^2\cdot 3$. Тогда $bcd=2^2\cdot 3^7$, и каждое из $b,c,d$ больше $12$ и содержит двойку не более чем во второй степени. Двузначные числа вида $2^i{3}^j$ с $i⩽2$, большие $12$: $18=2\cdot 3^2$, $27=3^3$, $36=2^2\cdot 3^2$, $54=2\cdot 3^3$, $81=3^4$. Суммарная степень двойки у $b,c,d$ должна быть $2$, а это возможно только для троек $\{18,54,27\}$, $\{18,54,81\}$, $\{36,27,81\}$. Степень тройки в их произведениях равна $2+3+3=8$, $2+3+4=9$ и $2+3+4=9$, а нужна $7$. Не подходит ни одна.

Значит, $g\ne 18$, и $g⩾20$.

Пример. Числа $10,20,25,32$:

$$10\cdot 20\cdot 25\cdot 32=(2\cdot 5)\cdot (2^2\cdot 5)\cdot 5^2\cdot 2^5=2^8\cdot 5^4,\sqrt[4]{2^8\cdot 5^4}=2^2\cdot 5=20.$$

в) Пусть $a<b<c<d<e<f$ — различные двузначные числа.

Оценка. По таблице $g⩾18$. Значения $18,20,22$ исключим так: все шесть чисел состоят из простых множителей $g$, поэтому их произведение не меньше произведения шести наименьших двузначных чисел такого вида. Покажем, что даже это наименьшее произведение больше $g^6$.

• $g=18$: двузначные числа вида $2^i{3}^j$ по возрастанию: $12,16,18,24,27,32,\dots$

$$12\cdot 16\cdot 18\cdot 24\cdot 27\cdot 32=2^2\cdot 3\cdot 2^4\cdot 2\cdot 3^2\cdot 2^3\cdot 3\cdot 3^3\cdot 2^5=2^{15}\cdot 3^7,$$

а $18^6=2^6\cdot 3^{12}$. Отношение $\frac{2^{15}\cdot 3^7}{2^6\cdot 3^{12}}=\frac{2^9}{3^5}=\frac{512}{243}>1$, значит, произведение больше $18^6$.

• $g=20$: числа вида $2^i{5}^j$: $10,16,20,25,32,40,\dots$

$$10\cdot 16\cdot 20\cdot 25\cdot 32\cdot 40=2\cdot 5\cdot 2^4\cdot 2^2\cdot 5\cdot 5^2\cdot 2^5\cdot 2^3\cdot 5=2^{15}\cdot 5^5,$$

а $20^6=2^{12}\cdot 5^6$. Отношение $\frac{2^3}{5}=\frac{8}{5}>1$.

• $g=22$: числа вида $2^{i}11^j$: $11,16,22,32,44,64,\dots$

$$11\cdot 16\cdot 22\cdot 32\cdot 44\cdot 64=11\cdot 2^4\cdot 2\cdot 11\cdot 2^5\cdot 2^2\cdot 11\cdot 2^6=2^{18}\cdot 11^3,$$

а $22^6=2^6\cdot 11^6$. Отношение $\frac{2^{12}}{11^3}=\frac{4096}{1331}>1$.

Во всех трёх случаях произведение шести чисел обязательно больше $g^6$, так что $g\ne 18,20,22$. Остальные значения до $23$ исключены таблицей, поэтому $g⩾24$.

Пример. Числа $12,16,18,24,36,64$:

$$12\cdot 16\cdot 18\cdot 24\cdot 36\cdot 64=2^2\cdot 3\cdot 2^4\cdot 2\cdot 3^2\cdot 2^3\cdot 3\cdot 2^2\cdot 3^2\cdot 2^6=2^{18}\cdot 3^6,$$

$$\sqrt[6]{2^{18}\cdot 3^6}=2^3\cdot 3=24.$$

Ответ: а) да; б) $20$; в) $24$.