Мужчина покупает капусту на ферме. Сосед попросил мужчину купить ему столько же капусты, сколько себе. На ферме продают кочаны… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел сложная 2023 развёрнутое

Мужчина покупает капусту на ферме. Сосед попросил мужчину купить ему столько же капусты, сколько себе. На ферме продают кочаны капусты, которые весят 2, 4 или 6 кг. Мужчина купил $N$ кг капусты.

а) Существует ли такой набор кочанов, в котором капусту нельзя поделить поровну, не разрезая ее, если $N = 20 ?$

б) Существует ли такой набор кочанов, в котором капусту нельзя поделить поровну, не разрезая ее, если $N = 48 ?$

в) Найдите все четные значения $N,$ при которых всегда можно разделить капусту поровну, не разрезая ее.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Поделить капусту поровну — значит разбить кочаны на две группы по $\frac{N}{2}$ кг каждая.

а) Да, существует. Возьмём три кочана по $6$ кг и один кочан $2$ кг: всего $6 + 6 + 6 + 2 = 20$ кг, каждому нужно по $10$ кг.

Кочан $2$ кг попадёт ровно в одну из двух групп. Другая группа состоит только из кочанов по $6$ кг, и её вес делится на $6$ : это $0, 6, 12$ или $18$ кг. Ни одно из этих чисел не равно $10$ , поэтому поровну поделить нельзя.

б) Нет, не существует: любой набор на $48$ кг делится поровну. Пусть куплено $x$ кочанов по $2$ кг, $y$ — по $4$ кг и $z$ — по $6$ кг:

$2 x + 4 y + 6 z = 48.$

Каждому нужно $24$ кг. Разберём случаи.

Если $z ⩾ 4$ , отдадим одному четыре кочана по $6$ кг ( $24$ кг), второму — всё остальное.
Если $y ⩾ 6$ , отдадим одному шесть кочанов по $4$ кг ( $24$ кг), второму — всё остальное.
Пусть $z ⩽ 3$ и $y ⩽ 5$ . Отдадим одному все кочаны по $6$ кг (это $6 z ⩽ 18$ кг) и добавим $12 - 3 z$ кочанов по $2$ кг — вместе ровно $6 z + 2 (12 - 3 z) = 24$ кг. Хватит ли кочанов по $2$ кг? Их всего

$x = 24 - 2 y - 3 z ⩾ 24 - 10 - 3 z = 14 - 3 z > 12 - 3 z,$

значит, хватит. Второму отдадим остальное.

в) Покажем, что подходят ровно числа $N$ , кратные $24$ .

Необходимость. Докажем, что при остальных чётных $N$ найдётся набор, который поровну не делится.

$N$ делится на $4$ . Если $N = 4 k + 2$ , то каждому нужно $2 k + 1$ кг — нечётное число. А все кочаны весят чётное число килограммов, и любая группа весит чётно. Значит, поделить нельзя никакой набор.
$N$ делится на $6$ . Если $N = 6 k + r$ , где $r = 2$ или $r = 4$ , возьмём $k$ кочанов по $6$ кг и один кочан $r$ кг. Группа без этого кочана весит число, кратное $6$ , а группа с ним — число, дающее остаток $r$ при делении на $6$ . Веса двух групп разные, поделить нельзя.
Из пунктов 1 и 2 $N$ делится на $12$ , то есть $N = 24 m$ или $N = 24 m + 12$ . Пусть $N = 24 m + 12$ . Возьмём только кочаны по $4$ кг, их $6 m + 3$ — нечётное число. Группы равного веса из одинаковых кочанов содержат поровну кочанов, значит, общее число кочанов должно быть чётным. Противоречие — такой набор не делится.

Итак, $N$ обязано делиться на $24$ .

Достаточность. Пусть $N = 24 k$ и куплено $x$ кочанов по $2$ кг, $y$ — по $4$ кг, $z$ — по $6$ кг:

$2 x + 4 y + 6 z = 24 k, x + 2 y + 3 z = 12 k .$

Каждому нужно $12 k$ кг.

Если $z ⩾ 2 k$ , одному отдадим $2 k$ кочанов по $6$ кг, второму — остальное.
Если $y ⩾ 3 k$ , одному отдадим $3 k$ кочанов по $4$ кг, второму — остальное.
Пусть $z ⩽ 2 k - 1$ и $y ⩽ 3 k - 1$ . Отдадим одному все кочаны по $6$ кг (это $6 z < 12 k$ кг) и добавим $6 k - 3 z$ кочанов по $2$ кг — вместе $6 z + 2 (6 k - 3 z) = 12 k$ кг. Кочанов по $2$ кг хватит:

$x = 12 k - 2 y - 3 z ⩾ 12 k - 2 (3 k - 1) - 3 z = 6 k + 2 - 3 z > 6 k - 3 z .$

Значит, при $N$ , кратном $24$ , капусту всегда можно поделить поровну. Это согласуется с пунктами а) и б): $20$ на $24$ не делится, а $48$ делится.

Ответ: а) да; б) нет; в) все $N$ , кратные $24$ , то есть $N = 24 k, k \in N$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20