ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Найдём, что сохраняется при ходах. За один ход в двух коробках число камней уменьшается на $1$, а в третьей увеличивается на $2$. Числа $-1$ и $+2$ дают одинаковый остаток при делении на $3$ (они отличаются на $3$). Поэтому разность количеств камней в любых двух коробках за ход меняется на

$$(-1)-(-1)=0,2-(-1)=3\text{или}(-1)-2=-3,$$

то есть на число, кратное $3$. Значит, остаток от деления на $3$ разности количеств камней в любых двух коробках не меняется.

Сначала в коробках $64,77,0$ камней, остатки от деления на $3$ равны $1,2,0$. Например, разность «вторая минус первая» равна $77-64=13$ и даёт остаток $1$.

Общее число камней тоже не меняется: всегда $64+77+0=141$.

а) Да, может. Покажем серию из трёх ходов, которая переносит $3$ камня из второй коробки в третью, а первую оставляет как была. Пусть в коробках $(a;b;c)$ камней:

$$(a;b;c)\to (a-1;b-1;c+2)\to (a-2;b-2;c+4)\to (a;b-3;c+3).$$

Первые два хода — кладём в третью коробку, третий ход — берём из второй и третьей и кладём в первую. Для этого нужно $a⩾2$ и $b⩾3$.

Повторим серию $6$ раз. В начале каждой серии в первой коробке $64$ камня, а во второй не меньше $62$, так что все ходы выполнимы. Положения после каждой серии:

$$(64;77;0)\to (64;74;3)\to (64;71;6)\to (64;68;9)\to (64;65;12)\to (64;62;15)\to (64;59;18).$$

За $18$ ходов получили $64,59,18$ камней.

б) Нет, не может. Если в третьей коробке $141$ камень, то в первых двух по $0$ камней, и их разность равна $0$ — делится на $3$. Но вначале разность первых двух коробок равна $64-77=-13$ и на $3$ не делится. Остаток разности от деления на $3$ не меняется, поэтому такое положение недостижимо.

в) Оценка. Пусть в первой коробке $1$ камень, а во второй $b$ камней. Разность «вторая минус первая» вначале равна $13$, поэтому $b-1$ отличается от $13$ на число, кратное $3$:

$$b-1=13+3k,b=14+3k,k\in \mathbb{Z}.$$

Значит, $b$ даёт остаток $2$ при делении на $3$: $b\in \{2,5,8,\dots \}$, и $b⩾2$. Тогда в третьей коробке

$$c=141-1-b⩽141-1-2=138.$$

Пример. Покажем, как получить $(1;2;138)$. Нам понадобятся две серии ходов:

• серия А (переносит $3$ камня из второй коробки в третью): $(a;b;c)\to (a-1;b-1;c+2)\to (a-2;b-2;c+4)\to (a;b-3;c+3)$, нужно $a⩾2,b⩾3$;
• серия Б (переносит $3$ камня из первой коробки в третью): $(a;b;c)\to (a-1;b-1;c+2)\to (a-2;b-2;c+4)\to (a-3;b;c+3)$, третий ход — берём из первой и третьей и кладём во вторую; нужно $a⩾3,b⩾2$.

Сначала $25$ раз делаем серию А:

$$(64;77;0)\to (64;74;3)\to \dots \to (64;5;72)\to (64;2;75).$$

Последняя серия начинается при $b=5⩾3$, все ходы выполнимы.

Затем $21$ раз делаем серию Б:

$$(64;2;75)\to (61;2;78)\to \dots \to (4;2;135)\to (1;2;138).$$

Каждая серия начинается при $b=2$ и $a⩾4$, промежуточные положения $(a-1;1;c+2)$ и $(a-2;0;c+4)$ неотрицательны, так что все ходы выполнимы. Последняя серия подробно:

$$(4;2;135)\to (3;1;137)\to (2;0;139)\to (1;2;138).$$

В первой коробке $1$ камень, в третьей $138$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $138$.