ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Обозначим через $P$ произведение цифр числа $n$. Так как нулей в записи нет, $P⩾1$.

а) Подходит $n=763$. Произведение цифр $P=7\cdot 6\cdot 3=126$, и

$$\frac{763}{126}=\frac{7\cdot 109}{7\cdot 18}=\frac{109}{18}.$$

б) Нет, не может. Предположим, что $\frac{n}{P}=\frac{113}{18}$. Тогда

$$18n=113P.$$

Число $113$ простое и на $18$ не делится, поэтому $18n$ делится на $113$ только тогда, когда $n$ делится на $113$. Значит, $n=113k$, причём $k⩽8$, так как $113\cdot 9=1017$ уже четырёхзначное. Из равенства $18\cdot 113k=113P$ получаем, что должно быть $P=18k$.

Проверим все восемь чисел:

$$\begin{array}{ccccccccc}k& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ n=113k& 113& 226& 339& 452& 565& 678& 791& 904\\ P& 3& 24& 81& 40& 150& 336& 63& \text{есть }0\\ 18k& 18& 36& 54& 72& 90& 108& 126& 144\end{array}$$

Ни в одном столбце $P$ не равно $18k$ (а в числе $904$ есть ноль). Значит, отношение $\frac{113}{18}$ невозможно.

в) Пусть $\frac{n}{P}=\frac{m}{18}$, где дробь $\frac{m}{18}$ несократима, то есть $m$ взаимно просто с $18$. Тогда $18n=mP$. Число $m$ делит $18n$ и взаимно просто с $18$, значит, $m$ делит $n$: $n=mt$ для натурального $t$. Подставим: $18mt=mP$, то есть $P=18t$. Итак,

$$n=mt,P=18t,\frac{n}{P}=\frac{n}{18t}.$$

Оценка. Рассмотрим два случая.

Если $t⩾2$, то, так как $n⩽999$,

$$\frac{n}{P}=\frac{n}{18t}⩽\frac{999}{36}=27,75<28.$$

Если $t=1$, то $P=18$ и $m=n$. Тогда $n$ взаимно просто с $18$: $n$ нечётно и не делится на $3$. Разложим $18$ в произведение трёх цифр от $1$ до $9$:

$$18=1\cdot 2\cdot 9=1\cdot 3\cdot 6=2\cdot 3\cdot 3.$$

• Цифры $1,2,9$: сумма цифр $12$ делится на $3$, значит, и $n$ делится на $3$ — не подходит.
• Цифры $2,3,3$: $n$ не больше $332$, то есть $\frac{n}{18}<\frac{631}{18}$.
• Цифры $1,3,6$: $n$ нечётно, поэтому последняя цифра $1$ или $3$. Возможны $631,361,613,163$, наибольшее из них $631$.

Значит, при $t=1$ отношение не больше $\frac{631}{18}$. А так как $\frac{631}{18}>35>28$, случай $t⩾2$ даёт ещё меньшие значения. Итак, отношение никогда не превосходит $\frac{631}{18}$.

Пример. $n=631$: произведение цифр $6\cdot 3\cdot 1=18$. Число $631$ нечётно, сумма его цифр $10$ на $3$ не делится, поэтому $631$ взаимно просто с $18$, и дробь $\frac{631}{18}$ несократима — знаменатель действительно $18$.

Ответ: а) например, $763$; б) нет; в) $\frac{631}{18}$.