ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Сначала переведём условие на язык неравенств. Рейтинг равен $r$, если доля голосов в процентах $p$ округляется до $r$. По правилу округления из условия (половина округляется вверх) это значит

$$r-0,5⩽p<r+0,5.$$

а) Пусть за футболиста проголосовали $x$ человек из $13$. Его доля равна $\frac{100x}{13}\%$, а рейтинг $31$ означает

$$30,5⩽\frac{100x}{13}<31,5.$$

Умножим на $13$:

$$396,5⩽100x<409,5,3,965⩽x<4,095.$$

Число $x$ целое, поэтому $x=4$. Проверка: $\frac{400}{13}=30\frac{10}{13}\approx 30,8$, это округляется до $31$.

После голоса Васи у футболиста $5$ голосов из $14$. Его доля

$$\frac{5}{14}\cdot 100\%=\frac{250}{7}\%=35\frac{5}{7}\%\approx 35,7\%,$$

что округляется до $36$.

б) Да, может. Идея: если у обоих футболистов доля имеет дробную часть ровно $0,5$, то обе доли округлятся вверх, и сумма рейтингов станет на $1$ больше суммы долей, то есть $101$.

Пример. Всего $8$ голосов: $1$ голос за первого футболиста и $7$ голосов за второго. Доли:

$$\frac{1}{8}\cdot 100\%=12,5\%,\frac{7}{8}\cdot 100\%=87,5\%.$$

Рейтинги равны $13$ и $88$, их сумма

$$13+88=101>100.$$

в) Пусть до голоса Васи всего было отдано $n$ голосов, из них $k$ — за нашего футболиста. После голоса Васи голосов стало $n+1$, а у футболиста $k+1$. Нам нужно найти наибольшее $n+1$. Условия на рейтинги $7$ и $9$:

$$\{\begin{array}{l}6,5⩽\frac{100k}{n}<7,5,\\ 8,5⩽\frac{100(k+1)}{n+1}<9,5.\end{array}$$

Оценка. Из этих четырёх неравенств нам хватит двух: верхней границы до голоса и нижней границы после голоса. Умножим их на положительные знаменатели:

$$100k<7,5n,100k+100⩾8,5n+8,5.$$

Подставим первое неравенство во второе:

$$8,5n+8,5⩽100k+100<7,5n+100,$$

откуда $n<91,5$, то есть $n⩽91$.

Теперь оценим $k$. Из первого неравенства

$$100k<7,5n⩽7,5\cdot 91=682,5,$$

значит, $k<6,825$ и $k⩽6$.

Снова используем второе неравенство, но уже с найденной оценкой для $k$:

$$8,5(n+1)⩽100(k+1)⩽100\cdot 7=700,n+1⩽\frac{700}{8,5}=82\frac{6}{17}.$$

Число $n+1$ целое, поэтому $n+1⩽82$: всего голосов, включая Васин, не больше $82$.

Пример. Пусть до Васи было $81$ голос, из них $6$ — за нашего футболиста. Его доля

$$\frac{6}{81}\cdot 100\%=\frac{200}{27}\%=7\frac{11}{27}\%\approx 7,41\%,$$

это число лежит между $6,5$ и $7,5$, рейтинг равен $7$. После голоса Васи у него $7$ голосов из $82$:

$$\frac{7}{82}\cdot 100\%=\frac{350}{41}\%=8\frac{22}{41}\%\approx 8,54\%,$$

это число лежит между $8,5$ и $9,5$, рейтинг равен $9$. Значит, $82$ голоса возможны.

Ответ: а) $36$; б) да; в) $82$.