ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — последовательности и прогрессии

Разбор — 4 балла

Пусть $q$ — знаменатель прогрессии.

Знаменатель — натуральное число, большее $1$. Число $q=\frac{b_2}{b_1}$ положительное и рациональное; запишем его несократимой дробью $q=\frac{u}{v}$. Тогда $b_{n+1}=b_1\cdot \frac{u^n}{v^n}$ — натуральное число при всех $n$. Так как $u^n$ и $v^n$ взаимно просты, $b_1$ делится на $v^n$ при всех $n$. Если $v⩾2$, то при больших $n$ число $v^n$ больше $b_1$ — противоречие. Значит, $v=1$ и $q$ натуральное, а так как члены различны, $q\ne 1$, то есть $q⩾2$.

Тождество. Вынесем $q$ из всех слагаемых, кроме первого:

$$S_{n+1}=b_1+b_{1}q+\dots +b_1{q}^n=b_1+q\left(b_1+b_{1}q+\dots +b_1{q}^{n-1}\right)=b_1+q{S}_n.$$

Лемма. Если $b_1$ не делится на $40$, то никакие две соседние суммы $S_n$ и $S_{n+1}$ не делятся на $40$ одновременно. Действительно, иначе на $40$ делилось бы число $b_1=S_{n+1}-q{S}_n$ ($q$ целое).

а) Да, существует. Возьмём $b_1=1$, $q=39$ (члены $1,39,39^2,\dots$ — различные натуральные числа). Тогда

$$S_1=1,S_2=40,S_3=40+1521=1561,S_4=1561+59319=60880=40\cdot 1522.$$

На $40$ делятся ровно $S_2$ и $S_4$; числа $S_1=1$ и $S_3=1561$ нечётны.

б) Нет, не существует. Если $b_1$ делится на $40$, то каждая сумма $S_n=b_1(1+q+\dots +q^{n-1})$ делится на $40$, и делятся все четыре числа. Если $b_1=S_1$ не делится на $40$, то делиться должны $S_2$, $S_3$, $S_4$ — в том числе соседние $S_2$ и $S_3$, что противоречит лемме.

в) Оценка. По условию $S_1=b_1$ не делится на $40$, поэтому работает лемма. Разобьём суммы $S_2,\dots ,S_8$ на пары соседних и одну отдельную:

$$(S_2,S_3),(S_4,S_5),(S_6,S_7),S_8.$$

В каждой паре на $40$ делится не больше одной суммы, поэтому всего таких сумм не больше $3+1=4$.

Пример. Снова $b_1=1$, $q=39$. Для чётного номера сгруппируем слагаемые парами:

$$S_{2m}=(1+39)+(39^2+39^3)+\dots +(39^{2m-2}+39^{2m-1})=40\left(1+39^2+\dots +39^{2m-2}\right),$$

поэтому $S_2$, $S_4$, $S_6$, $S_8$ делятся на $40$. А $S_1=1$ на $40$ не делится. Получаем ровно $4$ суммы, кратные $40$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $4$.