ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

а) Нет, не могли. Рассмотрим число $15$. Его соседи должны отличаться от него хотя бы на $9$, то есть быть не больше $15-9=6$ или не меньше $15+9=24$. Чисел, больших $23$, нет, поэтому подходит только число $6$. Но у числа $15$ на окружности два разных соседа — противоречие.

б) Да, могли. Расставим числа так, чтобы «малые» числа от $6$ до $14$ чередовались с «большими» от $15$ до $23$:

$$6,15,7,16,8,17,9,18,10,19,11,20,12,21,13,22,14,23.$$

Проверим разности соседних чисел. Число $m$ стоит перед числом $m+9$: разность $9$. Число $m+9$ стоит перед числом $m+1$: разность $8$. Замыкающая пара $23$ и $6$ даёт разность $17$. Все разности не меньше $8$.

в) Оценка. Докажем, что $k=6$ (а тем более $k>6$) невозможно. Пусть все разности соседних чисел и чисел через одно не меньше $6$. Разобьём числа на три группы:

$$A=\{6,\dots ,11\},B=\{12,\dots ,17\},C=\{18,\dots ,23\}.$$

Внутри группы любые два числа отличаются не больше чем на $5$. В любых трёх подряд идущих местах любые два места — соседние или через одно, поэтому там не могут стоять два числа одной группы. Значит, в любых трёх подряд идущих местах стоит ровно по одному числу из каждой группы.

Отсюда группы повторяются с шагом $3$: числа на местах $i$ и $i+3$ относятся к той группе, которой нет на местах $i+1$, $i+2$, то есть к одной и той же.

Пусть число $12$ (группа $B$) стоит на месте $i$. На местах $i+1$ и $i+2$ стоят одно число из $A$ и одно из $C$. Места $i-1$ и $i-2$ имеют те же группы, что места $i+2$ и $i+1$, — снова одно число из $A$ и одно из $C$. Итак, среди четырёх чисел, стоящих рядом с $12$ или через одно от него, два числа из группы $A$. Но из группы $A$ отличается от $12$ хотя бы на $6$ только число $6$ (уже $12-7=5$). Противоречие. Значит, $k⩽5$.

Пример для $k=5$. Расставим числа тройками $6+j,12+j,18+j$ при $j=0,1,\dots ,5$:

$$6,12,18,7,13,19,8,14,20,9,15,21,10,16,22,11,17,23.$$

Соседние числа: внутри тройки разности $6$ ($12+j$ и $6+j$, $18+j$ и $12+j$), между тройками — $11$ ($18+j$ и $7+j$), замыкающая пара $23$ и $6$ — $17$.

Числа через одно: внутри тройки $18+j$ и $6+j$ — разность $12$; через границу троек $12+j$ и $7+j$, а также $18+j$ и $13+j$ — разность $5$; на стыке конца и начала $17$ и $6$, $23$ и $12$ — разность $11$.

Все разности не меньше $5$, значит, $k=5$ достигается.

Ответ: а) нет; б) да; в) $5$.