ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Задача из открытого банка ФИПИ с подробным решением. Реши на бумаге и сверься с разбором.

Как решать №20

4 балла на ЕГЭ 2 часть экзамена

№20 Свойства чисел средняя 2023 развёрнутое

Трехзначное число, все цифры которого ненулевые, разделили на произведение его цифр.

а) Могло ли в результате деления получиться частное, равное 8?

б) Могло ли в результате деления получиться частное, равное 222?

в) Какое наибольшее частное можно было получить в результате деления?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Пусть число равно $ab c = 100 a + 10 b + c$ , где $a$ , $b$ , $c$ — цифры от $1$ до $9$ , а их произведение $P = ab c$ .

а) Да, могло. Возьмём число $128$ : произведение цифр $1 \cdot 2 \cdot 8 = 16$ , и

$\frac{128}{16} = 8.$

б) Нет, не могло. Пусть $ab c = 222 P$ . Число трёхзначное, поэтому $222 P ⩽ 999$ , откуда $P ⩽ \frac{999}{222} = 4, 5$ , то есть $P \in {1, 2, 3, 4}$ . Тогда число равно $222$ , $444$ , $666$ или $888$ соответственно. Но произведения цифр этих чисел равны

$2 \cdot 2 \cdot 2 = 8, 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64, 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216, 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512,$

и ни одно из них не совпадает с $P = 1$ , $2$ , $3$ , $4$ соответственно. Противоречие.

в) Оценка. Разделим почленно:

$\frac{100 a + 10 b + c}{ab c} = \frac{100}{b c} + \frac{10}{a c} + \frac{1}{ab} .$

Цифры не меньше $1$ , поэтому $b c ⩾ 1$ , $a c ⩾ 1$ , $ab ⩾ 1$ , и

$\frac{100}{b c} + \frac{10}{a c} + \frac{1}{ab} ⩽ 100 + 10 + 1 = 111.$

Пример. Для числа $111$ произведение цифр равно $1$ , и частное $\frac{111}{1} = 111$ .

Ответ: а) да; б) нет; в) $111$ .

Ещё задания №20

20-00SX, сложная

Из 24 последовательных нечётных чисел 1, 3, 5, …, 47 выбрали 9 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть $A$ — пятое по величине среди этих чисел, а $B$ — их среднее арифметическое.

a) Может ли $B - A$ равняться $\frac{2}{9} ?$

б) Может ли $B - A$ равняться $\frac{5}{9} ?$

в) Найдите наибольшее возможное значение $B - A .$

20-01VD, сложная

Для любых трёх натуральных чисел $a, b$ и $c$ (необязательно различных) вычисляют четвертое число $d$ по формуле $d = a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - b c - a c .$

а) Существуют ли $a, b$ и $c,$ для которых $d$ равно 19?

б) Существуют ли $a, b$ и $c,$ для которых $d$ равно 58?

в) Какое наибольшее значение может принимать $d,$ если $a, b$ и $c$ — двузначные числа и $d$ делится на 4?

20-06XV, средняя

В каждой клетке квадратной таблицы $6 \times 6$ стоит натуральное число, меньшее 7. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел.

а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?

б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?

в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?

Как решать №20 Решать дальше №20