В ящике лежат 95 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 73 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 115 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 10 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Пусть фруктов имеют массу меньше г, фруктов — больше г, фруктов — ровно г. Тогда , а общая масса равна г. Лёгкие фрукты весят вместе г, тяжёлые — г, остальные — г:
Подставим :
Если , то и , и все фрукты весят по г — это противоречит условию (есть два фрукта разной массы). Значит, . Числа и взаимно просты, поэтому из следует, что делится на : , , где — натуральное число. Кроме того, , откуда .
а) Нет, не могло. Если , то из получаем , то есть , а мы показали, что .
б) Нет, не могло. Фруктов массой ровно г
в) Оценка. Пусть — масса самого тяжёлого фрукта. Так как , есть фрукт тяжелее г, поэтому и этот фрукт входит в группу тяжёлых. Остальные тяжёлых фруктов весят не меньше г каждый (масса — целое число граммов). Масса всей группы равна , поэтому
Так как , получаем .
Пример. : , , . Возьмём фруктов по г, фруктов по г, фрукта по г и один фрукт массой г. Всего фруктов, массы есть разные. Проверим средние:
Все условия выполнены.
Ответ: а) нет; б) нет; в) г.