ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть $A=\overline{abc}=100a+10b+c$, тогда $S=a+b+c$. Отметим два свойства.

Свойство 1. $S⩽9+9+9=27$.

Свойство 2. $A-S=99a+9b$ делится на $3$, то есть $A$ и $S$ дают одинаковые остатки при делении на $3$.

Из свойства 2 следует, какие остатки при делении на $3$ может давать $A\cdot S$:

• если $S$ делится на $3$, то и $A$ делится на $3$, и тогда $A\cdot S$ делится на $9$;
• если $S$ и $A$ дают остаток $1$, то $A\cdot S$ даёт остаток $1\cdot 1=1$;
• если $S$ и $A$ дают остаток $2$, то $A\cdot S$ даёт тот же остаток, что $2\cdot 2=4$, то есть $1$.

Итак, $A\cdot S$ либо делится на $9$, либо даёт остаток $1$ при делении на $3$. В частности, остаток $2$ невозможен, а число, кратное $3$, но не кратное $9$, тоже невозможно.

а) Да, может. Разложим: $1105=5\cdot 13\cdot 17$. Возьмём $A=221$: $S=2+2+1=5$ и $A\cdot S=221\cdot 5=1105$.

б) Нет, не может. Сумма цифр числа $1106$ равна $8$, поэтому $1106$ даёт остаток $2$ при делении на $3$, а такой остаток у $A\cdot S$ невозможен.

в) Оценка. Докажем, что значения $1504$, $1505$, $1506$ не получаются.

Число $1505$ имеет сумму цифр $11$ и даёт остаток $2$ при делении на $3$ — невозможно.

Число $1506$ имеет сумму цифр $12$: оно делится на $3$, но не делится на $9$ — невозможно.

Число $1504=2^5\cdot 47$ даёт остаток $1$, его придётся проверить разложением. $S$ — делитель числа $1504$, не больший $27$, то есть $S\in \{1,2,4,8,16\}$. Тогда $A=\frac{1504}{S}$ должно быть трёхзначным:

• $S=1$: $A=1504$ — не трёхзначное;
• $S=2$: $A=752$, но $7+5+2=14\ne 2$;
• $S=4$: $A=376$, но $3+7+6=16\ne 4$;
• $S=8$: $A=188$, но $1+8+8=17\ne 8$;
• $S=16$: $A=94$ — не трёхзначное.

Значит, если $A\cdot S>1503$, то $A\cdot S⩾1507$.

Пример. $1507=11\cdot 137$. Возьмём $A=137$: $S=1+3+7=11$ и $A\cdot S=137\cdot 11=1507$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $1507$.