ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Каждое слагаемое — число, записанное одними единицами: $1$, $11$, $111$, $1111$, … Слагаемое из четырёх и более цифр не меньше $1111>132$, поэтому при сумме $132$ слагаемые бывают только $1$, $11$ и $111$.

Пусть слагаемых $1$ — $x$ штук, слагаемых $11$ — $y$ штук, слагаемых $111$ — $z$ штук. Посчитаем единицы на доске и сумму:

$$\{\begin{array}{l}x+2y+3z=n,\\ x+11y+111z=132.\end{array}$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$9y+108z=132-n,9(y+12z)=132-n.(\ast )$$

Обратно, любые целые неотрицательные $x$, $y$, $z$ с $x+11y+111z=132$ дают нужную запись: выпишем подряд $z$ слагаемых $111$, $y$ слагаемых $11$ и $x$ слагаемых $1$, и единиц понадобится ровно $n=x+2y+3z$.

а) Да, можно. При $n=60$ из $(\ast )$ получаем $9(y+12z)=72$, то есть $y+12z=8$. Отсюда $z=0$, $y=8$, а $x=132-11\cdot 8=44$. Проверка: единиц $44+2\cdot 8=60$, сумма

$$\underset{8}{\underbrace{11+11+\dots +11}}+\underset{44}{\underbrace{1+1+\dots +1}}=88+44=132.$$

б) Нет, нельзя. При $n=80$ правая часть $(\ast )$ равна $132-80=52$, а левая делится на $9$. Но $52$ на $9$ не делится — противоречие.

в) Так как $111z⩽132$, то $z=0$ или $z=1$.

При $z=0$: $x+11y=132$, и $y$ может быть любым от $0$ до $12$ (тогда $x=132-11y⩾0$). По $(\ast )$ $n=132-9y$, это $13$ различных значений:

$$132,123,114,\dots ,33,24.$$

При $z=1$: $x+11y=21$, откуда $y=0$ или $y=1$. Если $y=0$, то $x=21$ и $n=21+3=24$ — это значение уже есть. Если $y=1$, то $x=10$ и $n=10+2+3=15$ — новое значение: $10\cdot 1+11+111=132$.

Других вариантов нет, поэтому подходят ровно $n=15,24,33,\dots ,132$ — это $13+1=14$ значений.

Ответ: а) да; б) нет; в) $14$.