ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Пусть синих карточек $x$, красных $y$. Тогда наибольшее красное число равно $2x$, а наибольшее синее — $y$; в частности, $y$ делится на $3$.

Ограничение на красные. Красные числа — различные чётные числа, большие $-60$ (то есть не меньше $-58$) и не большие $2x$. Всего таких чисел

$$\frac{2x-(-58)}{2}+1=x+30,$$

поэтому

$$y⩽x+30.(1)$$

Ограничение на синие. Синие числа — различные числа, кратные $3$, большие $-60$ (то есть не меньше $-57$) и не большие $y$. Всего таких чисел

$$\frac{y-(-57)}{3}+1=\frac{y}{3}+20,$$

поэтому

$$x⩽\frac{y}{3}+20.(2)$$

а) Да, может. Пусть есть одна синяя карточка с числом $3$ и три красные с числами $2$, $0$, $-2$. Синее число делится на $3$, красные — различные чётные, все числа больше $-60$. Наибольшее красное число $2=2\cdot 1$ — удвоенное число синих карточек, наибольшее синее число $3$ — число красных карточек.

б) Нет, не может. При $y=150$ из (2) получаем $x⩽50+20=70$, а тогда из (1) $y⩽70+30=100<150$. Противоречие.

в) Оценка. Подставим (2) в (1):

$$y⩽x+30⩽\frac{y}{3}+20+30,\frac{2y}{3}⩽50,y⩽75.$$

Пример. При $y=75$ из (1) получаем $x⩾45$, а из (2) $x⩽25+20=45$, то есть $x=45$.

Синие карточки ($45$ штук): $-57,-54,-51,\dots ,72,75$ — все числа, кратные $3$, от $-57$ до $75$; их $\frac{75+57}{3}+1=45$.

Красные карточки ($75$ штук): $-58,-56,\dots ,88,90$ — все чётные числа от $-58$ до $90$; их $\frac{90+58}{2}+1=75$.

Все числа больше $-60$, синие различны и делятся на $3$, красные различны и чётны. Наибольшее красное число $90=2\cdot 45$, наибольшее синее число $75$ равно числу красных карточек.

Ответ: а) да; б) нет; в) $75$.