ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Число становится равным $41$, только если оно было равно $40$ и его увеличили. Значит, стёрты ровно те сороковки, которые увеличили. Пусть их $n$; на доске осталось $20-n$ чисел, и из них $k$ чисел увеличено на $1$, где $0⩽k⩽20-n$. Если первоначальная сумма равна $S_1$, то новая сумма

$$S_2=S_1-40n+k.$$

а) Да, могло. Пусть на доске $19$ единиц и одно число $40$. Среднее арифметическое

$$\frac{19\cdot 1+40}{20}=\frac{59}{20}=2,95.$$

Увеличим только число $40$: оно станет равно $41$ и будет стёрто. Останутся $19$ единиц со средним $1<2,95$.

б) Нет, не могло. Первоначальная сумма $S_1=14\cdot 20=280$. Если новое среднее равно $7$, то $S_2=7(20-n)$:

$$280-40n+k=140-7n,k=33n-140.$$

Из $k⩾0$ получаем $n⩾\frac{140}{33}=4\frac{8}{33}$, то есть $n⩾5$. Из $k⩽20-n$ получаем $34n⩽160$, $n⩽4\frac{12}{17}$, то есть $n⩽4$. Противоречие.

в) Оценка. Оставшиеся $20-n$ чисел до увеличения в сумме давали $280-40n$, и каждое из них натуральное, то есть не меньше $1$. Поэтому

$$280-40n⩾20-n,39n⩽260,n⩽6\frac{2}{3},$$

то есть $n⩽6$. Новое среднее арифметическое

$$\frac{280-40n+k}{20-n}⩾\frac{280-40n}{20-n}=\frac{40(20-n)-520}{20-n}=40-\frac{520}{20-n}.$$

Дробь $\frac{520}{20-n}$ растёт с ростом $n$, а $n⩽6$, поэтому $20-n⩾14$ и

$$40-\frac{520}{20-n}⩾40-\frac{520}{14}=40-\frac{260}{7}=\frac{20}{7}.$$

Пример. Пусть на доске $6$ чисел $40$, $13$ чисел $3$ и одно число $1$. Их сумма

$$6\cdot 40+13\cdot 3+1=240+39+1=280,$$

то есть среднее равно $14$. Увеличим все шесть чисел $40$: они станут равны $41$ и будут стёрты. Останутся $13$ троек и единица — $14$ чисел со средним

$$\frac{39+1}{14}=\frac{40}{14}=\frac{20}{7}.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{20}{7}$.