ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Число становится равным $5$, только если оно было равно $6$ и его уменьшили. Значит, стёрты ровно те шестёрки, которые уменьшили. Пусть их $n$; на доске осталось $20-n$ чисел ($20-n⩾1$), и из них $k$ чисел уменьшено на $1$, где $0⩽k⩽20-n$. Если первоначальная сумма равна $S_1$, то новая сумма

$$S_2=S_1-6n-k:$$

стёртые числа унесли $6n$, а каждое уменьшенное из оставшихся — ещё по единице.

а) Да, могло. Пусть на доске $19$ чисел $45$ и одно число $6$. Их среднее арифметическое

$$\frac{19\cdot 45+6}{20}=\frac{861}{20}=43,05.$$

Уменьшим только число $6$: оно станет равно $5$ и будет стёрто. Останутся $19$ чисел $45$ со средним $45>43,05$.

б) Нет, не могло. Первоначальная сумма $S_1=32\cdot 20=640$. Если новое среднее равно $39$, то $S_2=39(20-n)$:

$$640-6n-k=780-39n,k=33n-140.$$

Из $k⩾0$ получаем $n⩾\frac{140}{33}=4\frac{8}{33}$, то есть $n⩾5$. Из $k⩽20-n$ получаем $33n-140⩽20-n$, $34n⩽160$, $n⩽4\frac{12}{17}$, то есть $n⩽4$. Противоречие.

в) Оценка. Оставшиеся $20-n$ чисел до уменьшения в сумме давали $640-6n$, и каждое из них не больше $45$. Поэтому

$$640-6n⩽45(20-n),39n⩽260,n⩽6\frac{2}{3},$$

то есть $n⩽6$. Новое среднее арифметическое

$$\frac{640-6n-k}{20-n}⩽\frac{640-6n}{20-n}=\frac{6(20-n)+520}{20-n}=6+\frac{520}{20-n}.$$

Дробь $\frac{520}{20-n}$ растёт с ростом $n$ (знаменатель уменьшается), а $n⩽6$, поэтому $20-n⩾14$ и

$$6+\frac{520}{20-n}⩽6+\frac{520}{14}=6+\frac{260}{7}=\frac{302}{7}=43\frac{1}{7}.$$

Пример. Пусть на доске $6$ чисел $6$, $13$ чисел $45$ и одно число $19$. Все они больше $5$ и не больше $45$, их сумма

$$6\cdot 6+13\cdot 45+19=36+585+19=640,$$

то есть среднее равно $32$. Уменьшим все шесть чисел $6$: они станут равны $5$ и будут стёрты. Останутся $13$ чисел $45$ и число $19$ — всего $14$ чисел со средним

$$\frac{585+19}{14}=\frac{604}{14}=\frac{302}{7}=43\frac{1}{7}.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $43\frac{1}{7}$.