ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Пусть в классе $n$ человек, из них $g$ девочек. По условию $11⩽n⩽26$ и

$$\frac{g}{n}⩽\frac{46}{100}=\frac{23}{50},\text{то есть}50g⩽23n.$$

а) Да, может. При $g=9$ нужно $450⩽23n$, то есть $n⩾\frac{450}{23}=19\frac{13}{23}$, значит, $n⩾20$.

Пример: в классе $20$ человек — $9$ девочек и $11$ мальчиков. Число $20$ лежит в пределах от $11$ до $26$, а доля девочек $\frac{9}{20}=45\%⩽46\%$.

б) Нет, не может. Пусть после прихода девочки в классе $g+1$ девочек из $n+1$ человек и

$$\frac{g+1}{n+1}=\frac{55}{100}=\frac{11}{20},\text{то есть}20(g+1)=11(n+1).$$

Левая часть делится на $20$, а числа $11$ и $20$ взаимно просты, поэтому $n+1$ делится на $20$. Но $12⩽n+1⩽27$, и среди этих чисел на $20$ делится только $20$. Значит, $n+1=20$, $g+1=11$, то есть до прихода девочки в классе было $19$ человек и $10$ девочек.

Тогда начальная доля девочек равна $\frac{10}{19}$. Сравним её с $\frac{23}{50}$: $10\cdot 50=500>437=19\cdot 23$, значит, $\frac{10}{19}>\frac{23}{50}=46\%$. Это противоречит условию.

в) Оценка. Так как $\frac{g}{n}⩽\frac{23}{50}<\frac{1}{2}$, то $2g<n$. Числа целые, поэтому $2g⩽n-1$, и

$$2(g+1)=2g+2⩽n+1,\frac{g+1}{n+1}⩽\frac{1}{2}.$$

Значит, после прихода девочки её доля не больше $50\%$.

Пример. Пусть в классе $11$ человек, из них $5$ девочек. Доля девочек $\frac{5}{11}⩽\frac{23}{50}$, так как $5\cdot 50=250<253=11\cdot 23$ (это примерно $45,5\%$). Когда придёт ещё одна девочка, станет $6$ девочек из $12$ человек: $\frac{6}{12}=50\%$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $50\%$.