ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Задача из открытого банка ФИПИ с подробным решением. Реши на бумаге и сверься с разбором.

4 балла на ЕГЭ 2 часть экзамена

№20 Свойства чисел средняя 2023 развёрнутое

Дано квадратное уравнение $x^{2} - p x + q = 0$ с натуральными коэффициентами $p$ и $q$ и с натуральными корнями $x_{1}$ и $x_{2} .$

а) Найдите все различные значения $p,$ если $q = 5.$

б) Может ли быть $p < 10,$ если $q > 30 ?$

в) Найдите наименьшее значение $p,$ если $q > 30.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

По теореме Виета $x_{1} + x_{2} = p$ и $x_{1} x_{2} = q$ . Обратно, для любых натуральных $x_{1}$ , $x_{2}$ уравнение $x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2} = 0$ , то есть $(x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ , имеет корни $x_{1}$ и $x_{2}$ , а его коэффициенты натуральные. Поэтому задача сводится к вопросам о парах натуральных чисел с суммой $p$ и произведением $q$ .

Главное неравенство решения:

$p^{2} - 4 q = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2} = x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} - x_{2})^{2} ⩾ 0,$

то есть $p^{2} ⩾ 4 q$ .

а) При $q = 5$ имеем $x_{1} x_{2} = 5$ . Число $5$ простое, поэтому натуральные корни — это $1$ и $5$ , и $p = 1 + 5 = 6$ . Проверка: $x^{2} - 6 x + 5 = (x - 1) (x - 5)$ . Других значений $p$ нет.

б) Нет, не может. Так как $q$ — натуральное число, большее $30$ , то $q ⩾ 31$ . Тогда

$p^{2} ⩾ 4 q ⩾ 124 > 100,$

откуда $p > 10$ . Это противоречит предположению $p < 10$ .

в) Оценка. Как в пункте б), $p^{2} ⩾ 4 q ⩾ 124$ . Но $1 1^{2} = 121 < 124$ , поэтому $p > 11$ , то есть $p ⩾ 12$ .

Пример. Возьмём корни $x_{1} = 5$ , $x_{2} = 7$ . Тогда $p = 5 + 7 = 12$ , $q = 5 \cdot 7 = 35 > 30$ , и уравнение $x^{2} - 12 x + 35 = 0$ имеет натуральные корни $5$ и $7$ .

Ответ: а) $6$ ; б) нет; в) $12$ .

Ещё задания №20

20-00SX, сложная

Из 24 последовательных нечётных чисел 1, 3, 5, …, 47 выбрали 9 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть $A$ — пятое по величине среди этих чисел, а $B$ — их среднее арифметическое.

a) Может ли $B - A$ равняться $\frac{2}{9} ?$

б) Может ли $B - A$ равняться $\frac{5}{9} ?$

в) Найдите наибольшее возможное значение $B - A .$

20-01VD, сложная

Для любых трёх натуральных чисел $a, b$ и $c$ (необязательно различных) вычисляют четвертое число $d$ по формуле $d = a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - b c - a c .$

а) Существуют ли $a, b$ и $c,$ для которых $d$ равно 19?

б) Существуют ли $a, b$ и $c,$ для которых $d$ равно 58?

в) Какое наибольшее значение может принимать $d,$ если $a, b$ и $c$ — двузначные числа и $d$ делится на 4?

20-06XV, средняя

В каждой клетке квадратной таблицы $6 \times 6$ стоит натуральное число, меньшее 7. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел.

а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?

б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?

в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?

Как решать №20 Решать дальше №20