ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Пусть в группе $n$ юношей и $n$ девушек, из юношей $x$ отправили по $5$ писем, а остальные $n-x$ — по $16$ писем. По условию $x⩾2$ и $n-x⩾2$. Всего отправлено

$$T=5x+16(n-x)=16n-11x$$

писем. Каждый юноша может писать любым девушкам и одной девушке несколько раз, поэтому эти $T$ писем можно распределить между девушками как угодно — важно только их общее число.

а) Да, могло. Если каждая девушка получила $7$ писем, то $7n=16n-11x$, то есть $11x=9n$. Возьмём $n=11$, $x=9$: девять юношей отправили по $5$ писем, двое — по $16$. Всего $45+32=77=7\cdot 11$ писем.

Распределение можно указать явно. Каждый из девяти юношей с пятью письмами пишет $5$ писем своей девушке из первых девяти. Первый юноша с шестнадцатью письмами пишет по $2$ письма девушкам с первой по восьмую. Второй пишет $2$ письма девятой девушке и по $7$ писем десятой и одиннадцатой ($2+7+7=16$). Тогда первые девять девушек получили по $5+2=7$ писем, а десятая и одиннадцатая — по $7$.

б) Оценка. Пусть каждая девушка получила $k$ писем. Тогда $kn=16n-11x$, откуда

$$11x=(16-k)n.$$

Оценим $k$. Так как $n-x⩾1$, то $T=5n+11(n-x)>5n$; так как $x⩾1$, то $T=16n-11x<16n$. Значит, $5n<kn<16n$, то есть $5<k<16$ и $1⩽16-k⩽10$.

Левая часть равенства делится на простое число $11$, значит, и произведение $(16-k)n$ делится на $11$. Но $16-k$ — число от $1$ до $10$, на $11$ оно не делится. Поэтому на $11$ делится $n$, и $n⩾11$.

Пример. В пункте а) построена группа из $11$ девушек, каждая из которых получила по $7$ писем.

в) Оценка. Девушки получили попарно различные целые неотрицательные числа писем. Расположим их по возрастанию: наименьшее не меньше $0$, следующее не меньше $1$ и так далее, последнее не меньше $n-1$. Поэтому всего писем не меньше

$$0+1+2+\dots +(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}.$$

С другой стороны, $x⩾2$, поэтому $T=16n-11x⩽16n-22$. Получаем

$$\frac{n(n-1)}{2}⩽16n-22,n^2-n⩽32n-44,n^2-33n+44⩽0.$$

Корни квадратного трёхчлена: $n=\frac{33\pm \sqrt{913}}{2}$. Неравенство выполнено между корнями:

Оценим больший корень. Так как $30=\sqrt{900}<\sqrt{913}<\sqrt{961}=31$, то

$$31,5<\frac{33+\sqrt{913}}{2}<32.$$

Значит, $n<32$, а так как $n$ натуральное, $n⩽31$. (Проверка: при $n=31$ трёхчлен равен $961-1023+44=-18⩽0$, а при $n=32$ он равен $1024-1056+44=12>0$.)

Пример. $n=31$: двое юношей отправили по $5$ писем, остальные $29$ — по $16$ (обеих групп не меньше двух). Всего писем

$$2\cdot 5+29\cdot 16=10+464=474.$$

Пусть $30$ девушек получили $0,1,2,\dots ,29$ писем — это $\frac{29\cdot 30}{2}=435$ писем, а тридцать первая девушка — оставшиеся $474-435=39$ писем. Число $39$ больше $29$, поэтому все количества писем различны.

Ответ: а) да; б) $11$; в) $31$.