ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть мужчина купил $x$ кочанов по $1$ кг, $y$ кочанов по $2$ кг и $z$ кочанов по $3$ кг, где $x$, $y$, $z$ — целые неотрицательные числа. Тогда

$$x+2y+3z=N.$$

Поделить капусту поровну — значит выбрать часть кочанов общей массой ровно $\frac{N}{2}$ кг: эту часть получит один человек, а остальные кочаны (тоже $\frac{N}{2}$ кг) — другой.

Нам пригодится простое наблюдение. Пусть в наборе все кочаны, кроме одного, весят по $3$ кг. Тогда масса любой части набора либо делится на $3$ (если особого кочана в ней нет), либо даёт при делении на $3$ тот же остаток, что и вес особого кочана.

а) Да, существует. Пример: шесть кочанов по $3$ кг и один кочан в $2$ кг. Общая масса $6\cdot 3+2=20$ кг, каждому нужно по $10$ кг.

Если в части набора $a$ трёхкилограммовых кочанов, то она весит $3a$ кг (без кочана в $2$ кг) или $3a+2$ кг (с ним). Первое число делится на $3$, второе даёт остаток $2$, а число $10$ даёт остаток $1$. Значит, ровно $10$ кг набрать нельзя, и капусту поровну не поделить.

б) Нет, такого набора не существует: при $N=24$ капусту всегда можно поделить поровну. Здесь $x+2y+3z=24$, и нужно набрать для одного человека ровно $12$ кг.

Случай 1: $z⩾4$. Отдадим одному четыре кочана по $3$ кг — это ровно $12$ кг.

Случай 2: $z⩽3$. Отдадим одному все $z$ кочанов по $3$ кг. До $12$ кг не хватает

$$R=12-3z⩾3\text{кг}.$$

Будем добирать кочанами по $2$ кг.

• Если $2y⩾R$ и $R$ чётно, добавим $\frac{R}{2}$ кочанов по $2$ кг — получим ровно $12$ кг.
• Если $2y⩾R$ и $R$ нечётно, добавим $\frac{R-1}{2}$ кочанов по $2$ кг (их хватает, так как $2y⩾R>R-1$) и один кочан в $1$ кг. Такой кочан есть: раз $R=12-3z$ нечётно, то $z$ нечётно, и тогда $x=24-2y-3z$ тоже нечётно, то есть $x⩾1$.
• Если $2y<R$, добавим все $y$ кочанов по $2$ кг. Не хватает ещё $R^{\prime }=12-3z-2y>0$ кг, и их доберём кочанами по $1$ кг. Их хватает:

$$x=24-3z-2y=R^{\prime }+12>R^{\prime }.$$

Во всех случаях один человек получает ровно $12$ кг, второй — остальные $12$ кг.

в) Докажем, что подходят ровно те $N$, которые делятся на $12$.

Нечётные $N$ не подходят. Каждому нужно $\frac{N}{2}$ кг — нецелое число, а любая часть кочанов весит целое число килограммов. Поделить нельзя ни при каком наборе.

Все $N=12k$ подходят. Рассуждение то же, что в пункте б). Здесь $x+2y+3z=12k$, и нужно набрать $6k$ кг.

Если $z⩾2k$, отдадим одному $2k$ кочанов по $3$ кг — это $6k$ кг.

Если $z<2k$, отдадим одному все $z$ кочанов по $3$ кг, не хватает $R=6k-3z>0$ кг. При $2y⩾R$ и чётном $R$ добавляем $\frac{R}{2}$ кочанов по $2$ кг. При $2y⩾R$ и нечётном $R$ добавляем $\frac{R-1}{2}$ кочанов по $2$ кг и один кочан в $1$ кг: он есть, потому что из нечётности $R=6k-3z$ следует нечётность $z$, а значит, и $x=12k-2y-3z$. При $2y<R$ добавляем все кочаны по $2$ кг, а оставшиеся $R^{\prime }=6k-3z-2y$ кг добираем кочанами по $1$ кг, которых хватает: $x=R^{\prime }+6k>R^{\prime }$.

Чётные $N$, не кратные $12$, не подходят. Для каждого такого $N$ построим набор, который поровну не делится.

Пусть $N$ не делится на $3$, то есть $N=3m+s$, где $s=1$ или $s=2$. Возьмём $m$ кочанов по $3$ кг и один кочан весом $s$ кг. По наблюдению из начала решения масса любой части набора даёт при делении на $3$ остаток $0$ или $s$. Найдём остаток числа $\frac{N}{2}$. Так как $N=2\cdot \frac{N}{2}$, остаток $N$ однозначно определяется остатком $\frac{N}{2}$:

$$\begin{array}{cccc}\text{остаток }\frac{N}{2}& 0& 1& 2\\ \text{остаток }N& 0& 2& 1\end{array}$$

При $s=1$ остаток $\frac{N}{2}$ равен $2$, при $s=2$ он равен $1$. В обоих случаях он не равен ни $0$, ни $s$, поэтому набрать $\frac{N}{2}$ кг нельзя. Например: $N=2$ — один кочан в $2$ кг; $N=4$ — кочаны $3$ и $1$ кг; $N=8$ — кочаны $3$, $3$ и $2$ кг; $N=10$ — кочаны $3$, $3$, $3$ и $1$ кг.

Пусть $N$ делится на $3$ и чётно, то есть делится на $6$, но не делится на $12$. Тогда $N=12k+6$ и $\frac{N}{2}=6k+3$ — нечётное число. Возьмём $6k+3$ кочанов по $2$ кг. Любая часть такого набора весит чётное число килограммов, поэтому нечётные $6k+3$ кг набрать нельзя.

Итак, капусту всегда можно поделить поровну тогда и только тогда, когда $N$ делится на $12$.

Ответ: а) да; б) нет; в) все $N$, кратные $12$.