ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть число $\overline{abc}=100a+10b+c$, где $a$ — цифра от $1$ до $9$, $b$ и $c$ — цифры от $0$ до $9$, а отношение равно $k$:

$$100a+10b+c=k(a+b+c)\iff (100-k)a=(k-10)b+(k-1)c.$$

а) Да, может. Пример: число $201$, сумма цифр $2+0+1=3$, и $\frac{201}{3}=67$.

б) Нет, не может. При $k=83$ получаем

$$17a=73b+82c.$$

Левая часть не больше $17\cdot 9=153$. Рассмотрим возможные $b$ и $c$:

• если $b=c=0$, то $17a=0$, $a=0$ — число не трёхзначное;
• если $b⩾1$ и $c⩾1$, то правая часть не меньше $73+82=155>153$;
• если $c=0$ и $b⩾1$, то $b⩽2$ (иначе $73b⩾219$), и правая часть равна $73$ или $146$ — ни одно не делится на $17$;
• если $b=0$ и $c⩾1$, то $c=1$ (иначе $82c⩾164$), и правая часть равна $82$ — не делится на $17$.

Ни в одном случае равенство невозможно.

в) Пусть $a=6$. Тогда отношение равно

$$k=\frac{600+10b+c}{6+b+c}.$$

Оценка, шаг 1. Выделим целую часть: $600+10b+c=(6+b+c)+594+9b$, поэтому

$$k=1+\frac{594+9b}{6+b+c}⩾1+\frac{594+9b}{15+b},$$

так как $c⩽9$ и знаменатель не больше $15+b$. Далее

$$\frac{594+9b}{15+b}=\frac{9(15+b)+459}{15+b}=9+\frac{459}{15+b}⩾9+\frac{459}{24}=28,125,$$

так как $b⩽9$. Значит, $k⩾29,125$, и, поскольку $k$ целое, $k⩾30$.

Оценка, шаг 2. Покажем, что $k=30,31,\dots ,35$ невозможны. При $a=6$ уравнение принимает вид

$$(k-10)b+(k-1)c=600-6k.$$

• $k=30$: $20b+29c=420$. Числа $420$ и $20b$ делятся на $10$, значит, $29c$ делится на $10$, то есть $c=0$. Тогда $b=21$ — не цифра.
• $k=31$: $21b+30c=414$. Последняя цифра числа $21b$ совпадает с последней цифрой $b$, а $30c$ оканчивается на $0$. Значит, $b$ оканчивается на $4$, $b=4$, и тогда $30c=414-84=330$, $c=11$ — не цифра.
• $k=32$: $22b+31c=408$. Числа $408$ и $22b$ чётны, значит, $c$ чётно. Кроме того, $31c=408-22b⩾408-198=210$, откуда $c⩾7$, то есть $c=8$. Тогда $22b=408-248=160$ — не делится на $22$.
• $k=33$: $23b+32c=402$. Числа $402$ и $32c$ чётны, значит, $b$ чётно. Кроме того, $23b=402-32c⩾402-288=114$, откуда $b⩾5$, то есть $b=6$ или $b=8$. Тогда $32c=264$ или $32c=218$ — ни одно не делится на $32$.
• $k=34$: $24b+33c=396$. Разделим на $3$: $8b+11c=132$, то есть $8b=11(12-c)$. Значит, $b$ делится на $11$, $b=0$, и тогда $c=12$ — не цифра.
• $k=35$: $25b+34c=390$. Числа $390$ и $25b$ делятся на $5$, значит, $c$ делится на $5$: $c=0$ или $c=5$. Тогда $25b=390$ или $25b=220$ — ни одно не делится на $25$.

Итак, $k⩾36$.

Пример. Число $648$: сумма цифр $6+4+8=18$, и $\frac{648}{18}=36$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $36$.