ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Первая операция: цифра десятков увеличивается на $7$, цифра единиц уменьшается на $6$. Цифры остаются цифрами, поэтому число увеличивается на $70-6=64$. Применять её можно, только если цифра десятков не больше $2$ ($2+7=9$), а цифра единиц не меньше $6$: это числа $16$–$19$ и $26$–$29$.

Вторая операция: цифра десятков уменьшается на $8$, цифра единиц увеличивается на $8$, число уменьшается на $80-8=72$. Результат двузначный, поэтому цифра десятков после операции не меньше $1$, то есть до операции она равна $9$; цифра единиц не больше $1$ ($1+8=9$). Это числа $90$ и $91$.

Пусть первую операцию применили к $x$ числам, вторую — к $y$ числам. Сумма чисел изменилась на $64x-72y$.

а) Нет, не может. Нужно $64x-72y=124$. Левая часть делится на $8$, а $124=8\cdot 15+4$ на $8$ не делится. Противоречие.

б) Нет, не может. Сумма не изменилась, поэтому

$$64x=72y,8x=9y.$$

Числа $8$ и $9$ взаимно просты, поэтому $x$ делится на $9$: $x=9k$, и тогда $y=8k$. Всего чисел $x+y=17k$ — это число кратно $17$, а $50$ на $17$ не делится.

в) Как в пункте б), $x=9k$, $y=8k$ и всего чисел $17k$, где $k$ натуральное.

Оценка. Наибольшее число, к которому можно применить первую операцию, — $29$, вторую — $91$. Поэтому сумма исходных чисел не больше

$$29\cdot 9k+91\cdot 8k=261k+728k=989k.$$

По условию она больше $3210$: $989k>3210$. При $k⩽3$ имеем $989k⩽2967<3210$, значит, $k⩾4$ и чисел не меньше $17\cdot 4=68$.

Пример. На доске $36$ чисел $29$ и $32$ числа $91$ — всего $68$ чисел. Сумма

$$29\cdot 36+91\cdot 32=1044+2912=3956>3210.$$

К каждому числу $29$ применим первую операцию — получится $93$; к каждому числу $91$ — вторую, получится $19$. Все результаты двузначные, а их сумма

$$93\cdot 36+19\cdot 32=3348+608=3956$$

равна исходной.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $68$.