ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Какие числа подходят. Пусть число оканчивается на $4$: $n=10m+4$. Оно делится на $3$, если $10m+4=9m+3+(m+1)$ делится на $3$, то есть если $m+1$ делится на $3$: $m=3j+2$. Тогда $n=30j+24$. Значит, подходящие числа — это

$$24,54,84,114,144,174,\dots$$

— арифметическая прогрессия с первым членом $24$ и разностью $30$.

Последняя цифра суммы. Последняя цифра суммы зависит только от последних цифр слагаемых. Сумма $k$ чисел, оканчивающихся на $4$, оканчивается так же, как $4k$:

$$\begin{array}{ccccccccccc}k& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ \text{Последняя цифра суммы}& 4& 8& 2& 6& 0& 4& 8& 2& 6& 0\end{array}$$

Последние цифры повторяются с периодом $5$, так как сумма пяти таких чисел оканчивается на $0$.

а) Да, может. Пример: $24$, $54$, $204$. Все три различны, оканчиваются на $4$ и делятся на $3$ ($204=3\cdot 68$), а сумма

$$24+54+204=282.$$

б) Нет, не может. Число $390$ оканчивается на $0$, поэтому по таблице количество слагаемых кратно $5$, то есть их не меньше $5$. Но сумма даже пяти наименьших подходящих чисел

$$24+54+84+114+144=420>390.$$

Противоречие.

в) Оценка. Сумма $2226$ оканчивается на $6$, поэтому по таблице количество чисел $k$ даёт остаток $4$ при делении на $5$: $k=4,9,14,\dots$

Предположим, что $k⩾10$. Тогда $k⩾14$, и сумма не меньше суммы $14$ наименьших подходящих чисел. Это первые $14$ членов прогрессии, последний из них $24+30\cdot 13=414$:

$$24+54+\dots +414=\frac{24+414}{2}\cdot 14=219\cdot 14=3066>2226.$$

Противоречие, значит, $k⩽9$.

Пример. Возьмём восемь наименьших подходящих чисел и добавим девятое так, чтобы сумма стала $2226$. Сумма восьми наименьших:

$$24+54+84+114+144+174+204+234=\frac{24+234}{2}\cdot 8=1032.$$

Девятое число $2226-1032=1194$. Оно оканчивается на $4$, делится на $3$ (сумма цифр $15$) и больше $234$, так что все числа различны:

$$24,54,84,114,144,174,204,234,1194.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $9$.