ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть сыграно $z$ партий, из них $x$ выиграно и $y$ сыграно вничью. Показатель «побед» — это число $\frac{100x}{z}$, округлённое до целого, показатель «ничьих» — округлённое $\frac{100y}{z}$. Число с дробной частью $0,5$ и больше округляется вверх, меньше $0,5$ — вниз.

а) Да, может. Показатель «побед» равен $17$, если $16,5⩽\frac{100x}{z}<17,5$. Попробуем одну победу, $x=1$: тогда нужно $16,5⩽\frac{100}{z}<17,5$, откуда $5,7<z⩽6,06$, то есть $z=6$.

Пример: сыграно $6$ партий, $1$ выиграна, $5$ проиграны. Процент побед

$$\frac{100\cdot 1}{6}=16,66\dots ,$$

он округляется до $17$, а партий меньше $50$.

б) Да, может. После победы показатель «побед» не уменьшается, поэтому «поражения» могут вырасти только за счёт уменьшения «ничьих». Добьёмся, чтобы «ничьи» округлялись сначала вверх, а потом вниз.

Пусть сыграно $200$ партий: $50$ побед, $1$ ничья, $149$ поражений. Тогда

$$\frac{100\cdot 50}{200}=25,\frac{100\cdot 1}{200}=0,5\to 1,$$

и показатель «поражений» равен $100-25-1=74$.

Следующая партия выиграна: сыграно $201$ партия, $51$ победа, $1$ ничья. Тогда

$$\frac{100\cdot 51}{201}=\frac{5100}{201}=25+\frac{75}{201}\to 25,\frac{100\cdot 1}{201}<\frac{100}{200}=0,5\to 0,$$

так как $\frac{75}{201}<0,5$. Показатель «поражений» стал $100-25-0=75$ — он увеличился.

в) Пусть сыграно $z$ партий, одна из них проиграна, поэтому $x+y=z-1$. Обозначим показатели «побед» и «ничьих» через $P$ и $Q$.

Оценка. При округлении число увеличивается не больше чем на $0,5$, поэтому

$$P+Q⩽\left(\frac{100x}{z}+0,5\right)+\left(\frac{100y}{z}+0,5\right)=\frac{100(z-1)}{z}+1=101-\frac{100}{z}.$$

Значит, показатель «поражений»

$$100-P-Q⩾\frac{100}{z}-1.$$

Если $z⩽49$, то $\frac{100}{z}-1⩾\frac{100}{49}-1>1$, и показатель «поражений» больше $1$.

Если $z=50$, то $\frac{100x}{50}=2x$ и $\frac{100y}{50}=2y$ — целые числа, округлять не нужно. Показатель «поражений» равен

$$100-2x-2y=100-2\cdot 49=2\ne 1.$$

Следовательно, $z⩾51$.

Пример. Пусть $z=51$, тогда $x+y=50$. Если хотя бы один из показателей округляется вниз, то

$$P+Q⩽\frac{100\cdot 50}{51}+0,5=98,03\dots +0,5<99,$$

и «поражения» не меньше $2$. Поэтому оба процента должны иметь дробную часть не меньше $0,5$. Подбором находим $x=12$, $y=38$:

$$\frac{1200}{51}=23+\frac{27}{51}\to 24,\frac{3800}{51}=74+\frac{26}{51}\to 75,$$

так как $\frac{27}{51}>0,5$ и $\frac{26}{51}>0,5$. Итак, при $12$ победах, $38$ ничьих и $1$ поражении (всего $51$ партия) показатель «поражений» равен $100-24-75=1$.

Ответ: а) да; б) да; в) $51$.