ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Разберёмся, какие фигуры вообще могут лежать на столе.

Пусть на столе есть квадрат со стороной $a$. Тогда есть прямоугольник шириной $a-5$ и площадью $a^2$, его длина равна $\frac{a^2}{a-5}$. Ширина — натуральное число, поэтому $a⩾6$.

Пусть на столе есть прямоугольник шириной $w$ и длиной $l$. Тогда есть квадрат со стороной $a=w+5$ той же площади: $wl=a^2$. Значит, ширина прямоугольника равна $a-5$, а длина $\frac{a^2}{a-5}$ — как и выше.

Итак, фигуры на столе разбиваются на пары «квадрат $a\times a$ — прямоугольник $(a-5)\times \frac{a^2}{a-5}$», причём длина $\frac{a^2}{a-5}$ должна быть натуральной. Выделим целую часть, записав $a=(a-5)+5$:

$$\frac{a^2}{a-5}=\frac{(a-5{)}^2+10(a-5)+25}{a-5}=(a-5)+10+\frac{25}{a-5}=a+5+\frac{25}{a-5}.$$

Число $a+5$ натуральное, поэтому дробь натуральна тогда и только тогда, когда $25$ делится на $a-5$. Натуральные делители числа $25$: $1$, $5$, $25$. Получаем три варианта:

$$\begin{array}{ccc}a-5& \text{Квадрат}& \text{Прямоугольник}\\ 1& 6\times 6,S=36& 1\times 36\\ 5& 10\times 10,S=100& 5\times 20\\ 25& 30\times 30,S=900& 25\times 36\end{array}$$

Других квадратов и прямоугольников на столе быть не может.

а) Нет, не может. Ширина прямоугольника на столе равна $1$, $5$ или $25$. Проверим и напрямую: при ширине $20$ квадрат имел бы сторону $25$ и площадь $625$, а длина прямоугольника была бы $\frac{625}{20}=31,25$ — не натуральное число.

б) Да, может. Пример: на столе лежат квадрат $10\times 10$ и прямоугольник $5\times 20$. Их площади равны: $10^2=100=5\cdot 20$. Для квадрата есть прямоугольник той же площади шириной $10-5=5$, а для прямоугольника есть квадрат той же площади со стороной $5+5=10$. Условие выполнено, а длина прямоугольника равна $20$.

в) Оценка. Как мы показали, на столе могут лежать только квадраты $6\times 6$, $10\times 10$, $30\times 30$ и прямоугольники $1\times 36$, $5\times 20$, $25\times 36$. Значит, различных фигур не больше $6$.

Пример. Положим на стол все шесть фигур. Проверим пары:

$$6^2=36=1\cdot 36,10^2=100=5\cdot 20,30^2=900=25\cdot 36.$$

В каждой паре ширина прямоугольника на $5$ меньше стороны квадрата, а площади равны, так что у каждого квадрата есть нужный прямоугольник и наоборот.

Ответ: а) нет; б) да; в) $6$.