ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть число равно $100a+10b+c$, где $a$ — цифра от $1$ до $9$, $b$ и $c$ — цифры от $0$ до $9$. Его сумма цифр $a+b+c$, и результат операции равен

$$\frac{(100a+10b+c)-(a+b+c)}{3}=\frac{99a+9b}{3}=33a+3b.$$

а) Да, могло. Возьмём число $640$: сумма цифр $6+4+0=10$, и

$$\frac{640-10}{3}=\frac{630}{3}=210.$$

б) Нет, не могло. Результат $33a+3b=3(11a+b)$ всегда делится на $3$, а $175$ на $3$ не делится (сумма цифр $13$).

в) Результат $33a+3b$ зависит только от цифры сотен $a$ и цифры десятков $b$ и не зависит от последней цифры $c$.

Разные пары $(a;b)$ дают разные результаты. Пусть $33a+3b=33x+3y$ для цифр $a$, $b$, $x$, $y$. Тогда

$$33(a-x)=3(y-b),11(a-x)=y-b.$$

Левая часть делится на $11$, а правая — разность двух цифр, она лежит от $-9$ до $9$. Из таких чисел на $11$ делится только $0$. Значит, $y=b$, а тогда $11(a-x)=0$ и $a=x$.

Подсчёт. Значит, различных результатов столько, сколько различных пар (цифра сотен; цифра десятков) у чисел от $100$ до $800$. При $a=1,2,\dots ,7$ цифра $b$ принимает все $10$ значений — это $7\cdot 10=70$ пар. При $a=8$ есть только число $800$, то есть пара $(8;0)$. Всего $70+1=71$ пара, значит, $71$ различный результат.

(То же самое: каждой паре соответствует ровно одно число, кратное $10$, а таких чисел от $100$ до $800$ ровно $\frac{800-100}{10}+1=71$.)

Ответ: а) да; б) нет; в) $71$.