ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

а) Пример: $2893506$. Проверим, вычёркивая цифры:

• вычеркнем $8$, $9$, $3$, $5$ — останется $206$;
• вычеркнем $2$, $9$, $0$, $6$ — останется $835$;
• вычеркнем $2$, $8$, $5$, $6$ — останется $930$.

Число семизначное, все три числа получаются.

б) Нет, не существует. В числах $247$, $345$, $586$, $812$ встречаются восемь разных цифр: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$. Каждая из них должна быть в восьмизначном числе, поэтому каждая встречается в нём ровно один раз, и у каждой цифры есть своё единственное место.

Чтобы получить $247$, цифра $2$ должна стоять левее $4$. Чтобы получить $345$, цифра $4$ должна стоять левее $5$. Чтобы получить $586$, цифра $5$ должна стоять левее $8$. Чтобы получить $812$, цифра $8$ должна стоять левее $2$. Получаем цепочку: $2$ левее $4$, $4$ левее $5$, $5$ левее $8$, $8$ левее $2$, то есть $2$ стоит левее самой себя. Противоречие.

в) Оценка количества цифр. Чтобы получить числа $11$, $22$, $33$, $44$ (все меньше $50$), каждая из цифр $1$, $2$, $3$, $4$ должна встречаться хотя бы дважды. Чтобы получить $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ и $10$, нужны хотя бы по одной цифре $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $0$. Всего цифр не меньше

$$4\cdot 2+6=14.$$

Число из $15$ и более цифр больше любого четырнадцатизначного. Ниже мы предъявим подходящее четырнадцатизначное число, поэтому ответ четырнадцатизначный, и его цифры — это ровно $1,1,2,2,3,3,4,4,0,5,6,7,8,9$.

Требования к порядку цифр. Для четырнадцатизначного подходящего числа:

• цифра $0$ должна стоять правее какой-то цифры $5$ (иначе не получить $50$), поэтому $0$ не может стоять раньше $5$;
• цифры $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ должны стоять правее первой $4$ (иначе не получить $45$, $46$, $47$, $48$, $49$);
• для двух разных цифр $p$ и $q$ из $1$, $2$, $3$, $4$ нужны и $\overline{pq}$, и $\overline{qp}$ (оба меньше $50$). Поэтому обе цифры $p$ не могут стоять левее обеих цифр $q$: тогда $\overline{qp}$ не получить.

Оценка самого числа. Будем подбирать цифры слева направо и покажем, что на каждом месте меньшую цифру, чем в числе $12341234506789$, поставить нельзя (при уже выбранных предыдущих цифрах).

• 1-е место: $0$ впереди стоять не может, ставим $1$.
• 2-е место: $0$ нельзя (раньше нет $5$); $1$ нельзя — тогда обе единицы левее обеих двоек и не получить $21$. Ставим $2$.
• 3-е место: $0$ нельзя; $1$ нельзя — обе единицы окажутся левее обеих троек (не получить $31$); $2$ нельзя — обе двойки левее троек (не получить $32$). Ставим $3$.
• 4-е место: $0$ нельзя; $1$, $2$ или $3$ нельзя — обе такие цифры окажутся левее обеих четвёрок (не получить $41$, $42$ или $43$); цифры $5$–$9$ нельзя, так как ещё не было $4$. Ставим $4$.
• 5–8-е места: $0$ по-прежнему нельзя (не было $5$), а из меньших цифр остались только $1$, $2$, $3$, $4$ по одной. Ставим их по возрастанию: $1$, $2$, $3$, $4$.
• 9-е место: остались $0,5,6,7,8,9$; $0$ нельзя, ставим $5$.
• 10-е место: ставим $0$.
• 11–14-е места: оставшиеся $6$, $7$, $8$, $9$ ставим по возрастанию.

Значит, любое подходящее число не меньше $12341234506789$.

Пример. Проверим, что из $12341234506789$ получаются все числа от $1$ до $50$:

• $1$–$9$: каждая из этих цифр есть в числе;
• $10$, $20$, $30$, $40$, $50$: ноль стоит на $10$-м месте, правее цифр $1$, $2$, $3$, $4$ (места $1$–$4$) и $5$ (место $9$);
• остальные числа $\overline{pq}$ с $p\in \{1;2;3;4\}$, $q\ne 0$: цифру $p$ берём из первой четвёрки $1234$, а цифру $q$ — правее: при $q⩽4$ из второй четвёрки $1234$, при $q⩾5$ из хвоста $506789$.

Ответ: а) например, $2893506$; б) нет; в) $12341234506789$.