С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя развёрнутое

С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 3.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число 224?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число 314?

в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Пусть исходное число $N = ab c = 100 a + 10 b + c$ , где $a$ — цифра от $1$ до $9$ , $b$ и $c$ — цифры от $0$ до $9$ . К нему прибавляют $10 b$ и затем $3$ , получается

$M = 100 a + 20 b + c + 3.$

а) Да, могло. Возьмём $N = 211$ : цифра десятков $1$ , получаем

$211 + 10 \cdot 1 + 3 = 224.$

б) Нет, не могло. Должно выполняться $100 a + 20 b + c + 3 = 314$ , то есть

$20 (5 a + b) = 311 - c .$

Так как $0 ⩽ c ⩽ 9$ , правая часть лежит в пределах от $302$ до $311$ . Ближайшие к этому промежутку числа, кратные $20$ , — это $300$ и $320$ , в промежуток они не попадают. Значит, левая часть не может равняться правой.

в) Выделим целую часть отношения:

$\frac{M}{N} = \frac{( 100 a + 10 b + c ) + 10 b + 3}{100 a + 10 b + c} = 1 + \frac{10 b + 3}{100 a + 10 b + c} .$

Оценка. Числитель $10 b + 3$ положителен, поэтому дробь тем больше, чем меньше знаменатель. Так как $a ⩾ 1$ и $c ⩾ 0$ , знаменатель не меньше $100 + 10 b$ :

$\frac{M}{N} ⩽ 1 + \frac{10 b + 3}{10 b + 100} = 1 + 1 - \frac{97}{10 b + 100} = 2 - \frac{97}{10 b + 100} .$

Дробь $\frac{97}{10 b + 100}$ убывает с ростом $b$ , поэтому правая часть растёт с ростом $b$ и наибольшая при $b = 9$ :

$\frac{M}{N} ⩽ 2 - \frac{97}{190} = \frac{283}{190} .$

Пример. Оценка обращается в равенство при $a = 1$ , $b = 9$ , $c = 0$ , то есть для числа $N = 190$ :

$M = 190 + 10 \cdot 9 + 3 = 283, \frac{M}{N} = \frac{283}{190} .$

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{283}{190}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20