ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Сначала заметим, что ход всегда даёт правильную несократимую дробь, так что ходы можно делать дальше. Правильность: $a+b<2a+b$, так как $a>0$. Несократимость — по алгоритму Евклида (общий делитель двух чисел делит и их разность):

$$\text{НОД}(a+b;2a+b)=\text{НОД}(a+b;a)=\text{НОД}(b;a)=1.$$

а) Да, можно. Сделаем три хода:

$$\frac{2}{3}\to \frac{2+3}{2\cdot 2+3}=\frac{5}{7}\to \frac{5+7}{2\cdot 5+7}=\frac{12}{17}\to \frac{12+17}{2\cdot 12+17}=\frac{29}{41}.$$

Все промежуточные дроби правильные и несократимые, так что каждый ход разрешён.

б) Нет, нельзя. Найдём, что получается из дроби $\frac{a}{b}$ за два хода:

$$\frac{a}{b}\to \frac{a+b}{2a+b}\to \frac{(a+b)+(2a+b)}{2(a+b)+(2a+b)}=\frac{3a+2b}{4a+3b}.$$

Эта дробь несократима (каждый ход сохраняет несократимость), и $\frac{6}{7}$ тоже несократима. Две равные несократимые дроби с натуральными числителями и знаменателями совпадают полностью, поэтому

$$\{\begin{array}{l}3a+2b=6,\\ 4a+3b=7.\end{array}$$

Так как $a,b⩾1$, из второго уравнения $4a+3b⩾7$, и равенство возможно только при $a=b=1$. Но тогда $3a+2b=5\ne 6$. Противоречие.

в) Какие дроби получаются за два хода. Пусть $\frac{c}{d}$ получена из $\frac{a}{b}$ за два хода. Как в пункте б), из несократимости

$$\{\begin{array}{l}c=3a+2b,\\ d=4a+3b.\end{array}$$

Выразим $a$ и $b$. Умножим первое уравнение на $3$, второе на $2$ и вычтем: $3c-2d=9a+6b-8a-6b=a$. Умножим первое на $4$, второе на $3$ и вычтем: $3d-4c=12a+9b-12a-8b=b$. Итак,

$$a=3c-2d,b=3d-4c.$$

Исходная дробь правильная, то есть $a⩾1$, $b⩾1$ и $a<b$:

$$3c-2d>0\iff \frac{c}{d}>\frac{2}{3};3d-4c>0\iff \frac{c}{d}<\frac{3}{4};3c-2d<3d-4c\iff 7c<5d\iff \frac{c}{d}<\frac{5}{7}.$$

Так как $\frac{5}{7}<\frac{3}{4}$, получаем необходимое условие $\frac{2}{3}<\frac{c}{d}<\frac{5}{7}$.

Оно и достаточно. Пусть несократимая дробь $\frac{c}{d}$ лежит между $\frac{2}{3}$ и $\frac{5}{7}$. Положим $a=3c-2d$, $b=3d-4c$. По доказанному, это натуральные числа и $a<b$. Подстановкой проверяем, что $3a+2b=9c-6d+6d-8c=c$ и $4a+3b=12c-8d+9d-12c=d$, то есть за два хода из $\frac{a}{b}$ получается $\frac{c}{d}$. Осталось проверить, что $\frac{a}{b}$ несократима. По алгоритму Евклида

$$\text{НОД}(c;d)=\text{НОД}(3a+2b;4a+3b)=\text{НОД}(3a+2b;a+b)=\text{НОД}(a;a+b)=\text{НОД}(a;b),$$

а $\text{НОД}(c;d)=1$, значит, и $\text{НОД}(a;b)=1$.

Оценка. Поскольку $\frac{2}{3}<0,7<\frac{5}{7}$, любую несократимую дробь $\frac{c}{d}$ с $0,7<\frac{c}{d}<\frac{5}{7}$ можно получить за два хода. Поэтому искомая дробь не меньше $\frac{5}{7}$.

Пример. Дробь $\frac{5}{7}$ несократима, и $\frac{5}{7}=0,714\dots >0,7$. Получить её нельзя: для неё $a=3\cdot 5-2\cdot 7=1$, $b=3\cdot 7-4\cdot 5=1$, а дробь $\frac{1}{1}$ не является правильной. Значит, $\frac{5}{7}$ — наименьшая из дробей, больших $0,7$, которую нельзя получить за два хода.

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{5}{7}$.