ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Разберёмся, какие фигуры вообще могут лежать на столе.

Пусть на столе есть квадрат со стороной $a$. Тогда есть прямоугольник шириной $a-7$ и площадью $a^2$, его длина равна $\frac{a^2}{a-7}$. Ширина — натуральное число, поэтому $a⩾8$.

Пусть на столе есть прямоугольник шириной $w$ и длиной $l$. Тогда есть квадрат со стороной $a=w+7$ той же площади: $wl=a^2$. Значит, ширина прямоугольника равна $a-7$, а длина $\frac{a^2}{a-7}$ — в точности как выше.

Итак, фигуры на столе разбиваются на пары «квадрат $a\times a$ — прямоугольник $(a-7)\times \frac{a^2}{a-7}$», и длина $\frac{a^2}{a-7}$ должна быть натуральной. Выделим целую часть, записав $a=(a-7)+7$:

$$\frac{a^2}{a-7}=\frac{(a-7{)}^2+14(a-7)+49}{a-7}=(a-7)+14+\frac{49}{a-7}=a+7+\frac{49}{a-7}.$$

Число $a+7$ натуральное, поэтому дробь натуральна тогда и только тогда, когда $49$ делится на $a-7$. Натуральные делители числа $49$: $1$, $7$, $49$. Получаем три варианта:

$$\begin{array}{ccc}a-7& \text{Квадрат}& \text{Прямоугольник}\\ 1& 8\times 8,S=64& 1\times 64\\ 7& 14\times 14,S=196& 7\times 28\\ 49& 56\times 56,S=3136& 49\times 64\end{array}$$

Других квадратов и прямоугольников на столе быть не может.

а) Нет, не может. Ширина прямоугольника на столе равна $1$, $7$ или $49$. Проверим и напрямую: при ширине $14$ квадрат имел бы сторону $21$ и площадь $441$, а длина прямоугольника была бы $\frac{441}{14}=31,5$ — не натуральное число.

б) Да, может. Пример: на столе лежат квадрат $14\times 14$ и прямоугольник $7\times 28$. Их площади равны: $14^2=196=7\cdot 28$. Для квадрата есть прямоугольник той же площади шириной $14-7=7$, а для прямоугольника есть квадрат той же площади со стороной $7+7=14$. Условие выполнено, а длина прямоугольника равна $28$.

в) Оценка. Как мы показали, на столе могут лежать только квадраты $8\times 8$, $14\times 14$, $56\times 56$ и прямоугольники $1\times 64$, $7\times 28$, $49\times 64$. Значит, различных фигур не больше $6$.

Пример. Положим на стол все шесть фигур. Проверим пары:

$$8^2=64=1\cdot 64,14^2=196=7\cdot 28,56^2=3136=49\cdot 64.$$

В каждой паре ширина прямоугольника на $7$ меньше стороны квадрата, а площади равны, так что у каждого квадрата есть нужный прямоугольник и наоборот.

Ответ: а) нет; б) да; в) $6$.