ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Сначала поймём, что может стоять на одном корабле грузоподъёмностью $10$ т.

Два семитонных контейнера весят $14>10$ т, поэтому на корабле не больше одного семитонного. Рядом с семитонным помещается не больше одного двухтонного: $7+2=9⩽10$, а $7+2+2=11>10$. На корабле без семитонного помещается не больше пяти двухтонных: $5\cdot 2=10$, а $6\cdot 2=12>10$.

Заметим, что одной общей массы недостаточно для рассуждений: например, в пункте б) все грузы весят $12\cdot 7+18\cdot 2=120$ т, а $13$ кораблей поднимают $130$ т. Мешает именно неделимость контейнеров.

а) Да, можно. На $12$ кораблей поставим по одному семитонному и одному двухтонному контейнеру ($9$ т на каждом). Останется $24-12=12$ двухтонных. На $2$ корабля поставим по $5$ двухтонных ($10$ т), на последний, $15$-й, — оставшиеся $2$ двухтонных ($4$ т). Всего $12+2+1=15$ кораблей, и ни один не перегружен.

б) Нет, нельзя. Предположим, что получилось разместить грузы на $13$ кораблях. Семитонные контейнеры стоят по одному, поэтому они занимают $12$ кораблей, и на каждом из этих кораблей не больше одного двухтонного — всего не больше $12$. На оставшемся одном корабле не больше $5$ двухтонных. Итого двухтонных не больше

$$12+5=17<18.$$

Противоречие.

в) Оценка. Пусть хватило $N$ кораблей. Семитонные контейнеры занимают $12$ разных кораблей, на них не больше $12$ двухтонных. На остальных $N-12$ кораблях не больше $5(N-12)$ двухтонных. Поэтому

$$12+5(N-12)⩾47,5(N-12)⩾35,N⩾19.$$

Пример. На $12$ кораблей поставим по одному семитонному и одному двухтонному контейнеру ($9$ т). Останется $47-12=35$ двухтонных — поставим их на $7$ кораблей по $5$ штук ($10$ т). Всего $12+7=19$ кораблей.

Ответ: а) да; б) нет; в) $19$.