ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

На доске $30$ чисел: $15$ чисел Коли и $15$ их квадратов, записанных Петей.

Ключевое свойство. Сумма любых трёх чисел Пети делится на $3$. Посмотрим, какие остатки дают квадраты при делении на $3$:

$$\begin{array}{cccc}\text{Остаток }x& 0& 1& 2\\ \text{Остаток }{x}^2& 0& 1& 1\end{array}$$

Каждый квадрат числа, не кратного $3$, даёт остаток $1$, а квадрат кратного — остаток $0$. Значит, сумма трёх квадратов даёт при делении на $3$ тот же остаток, что и количество чисел, не кратных $3$, среди трёх оснований. Сумма делится на $3$, только если таких чисел $0$ или $3$.

Пусть у Коли есть и число, кратное $3$, и число, не кратное $3$. Возьмём их и любое третье число: среди трёх оснований чисел, не кратных $3$, будет $1$ или $2$, и сумма квадратов не разделится на $3$. Противоречие. Поэтому числа Коли либо все кратны $3$, либо все не кратны $3$. Обратно, в обоих случаях условие выполнено: сумма трёх квадратов даёт остаток $0$ или $1+1+1=3$, то есть делится на $3$.

Число $2401=7^4=49^2$ на доске. Если его записал Коля, то у Коли есть число $2401$, не кратное $3$ (сумма цифр $7$). Если его записал Петя, то у Коли есть число $49$, тоже не кратное $3$. В обоих случаях все числа Коли не делятся на $3$.

а) Да, может. Заметим, что $10816=104^2$. Пусть Коля записал

$$1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,49,104.$$

Это $15$ различных натуральных чисел, меньших $5000$, и ни одно не делится на $3$. Поэтому сумма любых трёх их квадратов делится на $3$ и условие выполнено. Петя запишет, в частности, $49^2=2401$ и $104^2=10816$.

б) Нет, не может. Число $40401$ больше $5000$, поэтому его мог записать только Петя: $40401=201^2$. Но тогда Коля записал $201=3\cdot 67$ — число, кратное $3$, а все числа Коли на $3$ не делятся. Противоречие.

в) Что считаем. Числа Коли различны, и их квадраты тоже различны. Поэтому одинаковыми могут быть только число Коли и число Пети: Коля записал $y$ и $y^2$ (случай $y=1$, $y^2=1$ тоже подходит). Каждое число Пети совпадает не более чем с одним числом Коли, поэтому количество пар равно количеству $p$ чисел $y$ у Коли, для которых $y^2$ тоже записано Колей.

Оценка. Обозначим через $A$ множество таких $y$, а через $B$ — множество их квадратов. В каждом из них $p$ чисел, и оба состоят из чисел Коли. Значит, в объединении $A$ и $B$ не больше $15$ чисел:

$$2p-(\text{количество общих чисел }A\text{ и }B)⩽15.$$

Оценим количество общих чисел. Пусть $z$ лежит и в $A$, и в $B$. Раз $z\in B$, то $z=y^2$ для некоторого $y\in A$. Раз $z\in A$, то $z^2$ записано Колей, то есть $z^2<5000$, откуда $z⩽70$ (ведь $71^2=5041$). Тогда $y^2⩽70$, $y⩽8$, и $y$ не делится на $3$:

$$y\in \{1;2;4;5;7;8\},z=y^2\in \{1;4;16;25;49;64\}.$$

Общих чисел не больше $6$, поэтому

$$2p-6⩽15,p⩽10,5,p⩽10.$$

Пример. Пусть Коля записал числа, собранные в цепочки «число → его квадрат»:

$$1;2,4,16,256;8,64,4096;7,49,2401;25,625;11,121.$$

Это $1+4+3+3+2+2=15$ различных чисел, все меньше $5000$, ни одно не делится на $3$, и на доске есть $2401$. Петя записал

$$1,4,16,256,65536,64,4096,16777216,49,2401,5764801,625,390625,121,14641.$$

Совпадают с числами Коли:

$$1,4,16,256,64,4096,49,2401,625,121$$

— это $10$ пар одинаковых чисел.

Ответ: а) да; б) нет; в) $10$.