ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Будем пользоваться известным свойством: число $n$ и его сумма цифр $S(n)$ дают одинаковые остатки при делении на $9$ (а значит, и на $3$). Иначе говоря, разность $n-S(n)$ делится на $9$.

а) Нет, не существует. Запишем

$$8n+S(n)=9n-(n-S(n)).$$

Здесь $9n$ делится на $9$, и $n-S(n)$ делится на $9$, поэтому $8n+S(n)$ делится на $9$, а тем более на $3$. Но сумма цифр числа $2024$ равна $8$, так что $2024$ на $3$ не делится. Противоречие.

б) Нет, не существует. Предположим, что $7n+S(n)=2024$.

Остаток $n$ при делении на $9$. Запишем

$$7n+S(n)=8n-(n-S(n)).$$

Число $n-S(n)$ делится на $9$, поэтому $7n+S(n)$ и $8n$ дают одинаковые остатки при делении на $9$. Число $2024$ даёт остаток $8$ (сумма цифр $8$). Значит, $8n-8=8(n-1)$ делится на $9$, а так как $8$ и $9$ взаимно просты, $n-1$ делится на $9$: число $n$ даёт остаток $1$ при делении на $9$.

Оценка сверху. Сумма цифр натурального числа не меньше $1$, поэтому $7n⩽2023$, то есть $n⩽289$.

Оценка снизу. Раз $n⩽289$, число $n$ не более чем трёхзначное и $S(n)⩽9+9+9=27$. Тогда

$$7n=2024-S(n)⩾2024-27=1997,n⩾\frac{1997}{7}=285\frac{2}{7},$$

то есть $n⩾286$.

Итак, $286⩽n⩽289$ и $n$ даёт остаток $1$ при делении на $9$. Остатки чисел $286$, $287$, $288$, $289$ при делении на $9$ равны $7$, $8$, $0$, $1$, так что остаётся $n=289$. Но

$$7\cdot 289+S(289)=2023+19=2042\ne 2024.$$

Противоречие, такого числа нет.

в) Пусть $n=\overline{xy}=10x+y$, где $x$ — цифра от $1$ до $9$, $y$ — цифра от $0$ до $9$. Тогда $S(n)=x+y$ и $1⩽x+y⩽18$.

Сумма цифр. В равенстве $9kn+S(n)=15671$ слагаемое $9kn$ делится на $9$, поэтому $S(n)$ даёт тот же остаток при делении на $9$, что и $15671$. Сумма цифр числа $15671$ равна $20$, остаток равен $2$. Из чисел от $1$ до $18$ остаток $2$ дают только $2$ и $11$.

Случай $S(n)=2$. Двузначные числа с суммой цифр $2$ — это $11$ и $20$. Получаем

$$9kn=15671-2=15669,kn=1741.$$

Но $1741=11\cdot 158+3$ не делится на $11$, а на $20$ не делится, так как нечётно. Этот случай невозможен.

Случай $S(n)=11$. Получаем

$$9kn=15671-11=15660,kn=1740=2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 29.$$

Значит, $n$ — двузначный делитель числа $1740$. Выпишем их все: $10$, $12$, $15$, $20$, $30$, $60$ (делители числа $60=2^2\cdot 3\cdot 5$) и $29$, $58$, $87$ (делители, содержащие множитель $29$). Их суммы цифр: $1$, $3$, $6$, $2$, $3$, $6$, $11$, $13$, $15$. Сумма цифр $11$ только у числа $29$.

Оценка. Итак, равенство возможно только при $n=29$, и тогда $k=\frac{1740}{29}=60$. Никакое другое $k$, в частности меньшее $60$, не подходит.

Пример. При $k=60$ и $n=29$:

$$9\cdot 60\cdot 29+(2+9)=15660+11=15671.$$

Ответ: а) нет; б) нет; в) $60$.