ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Ключевое свойство. Условие означает, что сумма любых четырёх чисел делится на $4$, а сумма любых пяти — на $5$.

Возьмём два любых числа $a$ и $b$ с доски. Среди оставшихся восьми чисел выберем три: $c$, $d$, $e$. Суммы $a+c+d+e$ и $b+c+d+e$ делятся на $4$, поэтому и их разность

$$(a+c+d+e)-(b+c+d+e)=a-b$$

делится на $4$. Точно так же, взяв ещё четыре числа $c$, $d$, $e$, $f$, получаем, что суммы $a+c+d+e+f$ и $b+c+d+e+f$ делятся на $5$, значит, $a-b$ делится на $5$. Так как $4$ и $5$ взаимно просты, $a-b$ делится на $20$.

Итак, все числа на доске дают одинаковый остаток при делении на $4$ и одинаковый остаток при делении на $5$ (то есть одинаковый остаток при делении на $20$).

Верно и обратное. Если все числа дают остаток $r$ при делении на $4$ и остаток $s$ при делении на $5$, то сумма любых четырёх даёт тот же остаток, что $4r$, то есть делится на $4$, а сумма любых пяти даёт тот же остаток, что $5s$, то есть делится на $5$. Поэтому для проверки примера достаточно проверить одинаковость остатков.

а) Да, могут. Разность $2031-431=1600=20\cdot 80$ делится на $20$, так что противоречия с ключевым свойством нет. Пример:

$$31,131,231,331,431,531,631,731,831,2031.$$

Это десять различных натуральных чисел, каждое имеет вид $100t+31$. Так как $100$ делится и на $4$, и на $5$, все они дают остаток $3$ при делении на $4$ (как $31$) и остаток $1$ при делении на $5$. Сумма любых четырёх даёт при делении на $4$ тот же остаток, что $4\cdot 3=12$, то есть $0$; сумма любых пяти даёт при делении на $5$ тот же остаток, что $5\cdot 1=5$, то есть $0$. Значит, среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел целое.

б) Нет, не может. Число $431=4\cdot 107+3$ даёт остаток $3$ при делении на $4$, значит, все числа на доске дают остаток $3$ при делении на $4$.

Посмотрим, какие остатки дают квадраты при делении на $4$. Если $m$ чётно, $m=2k$, то $m^2=4k^2$ — остаток $0$. Если $m$ нечётно, $m=2k+1$, то $m^2=4k^2+4k+1$ — остаток $1$. Остатка $3$ квадрат не даёт, поэтому квадрата натурального числа на доске быть не может.

в) Оценка. На доске есть $1$, поэтому все числа, в том числе $n^2$, дают остаток $1$ при делении на $4$ и остаток $1$ при делении на $5$. Причём $n^2\ne 1$, так как $n>1$.

Проверим $n$ от $2$ до $8$. При чётном $n$ квадрат делится на $4$ — не подходит. При нечётных:

$$3^2=9,5^2=25,7^2=49$$

дают при делении на $5$ остатки $4$, $0$, $4$ — тоже не подходит. Значит, $n⩾9$.

Пример. При $n=9$ имеем $n^2=81=4\cdot 20+1$. Возьмём числа вида $20t+1$:

$$1,21,41,61,81,101,121,141,161,181.$$

Это десять различных натуральных чисел, среди них $1$ и $81=9^2$. Все они дают остаток $1$ при делении и на $4$, и на $5$. Сумма любых четырёх даёт при делении на $4$ остаток, как у $4\cdot 1$, то есть $0$, а сумма любых пяти даёт при делении на $5$ остаток, как у $5\cdot 1$, то есть $0$. Условие выполнено.

Ответ: а) да; б) нет; в) $9$.