ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Каждое слагаемое — это число, записанное одними единицами: $1$, $11$, $111$, $1111$, … Число $1111$ и более длинные уже больше $130$, поэтому слагаемыми могут быть только $1$, $11$ и $111$. Два слагаемых $111$ дают $222>130$, значит, слагаемое $111$ встречается не больше одного раза.

Пусть в сумме $z$ слагаемых $111$ ($z=0$ или $z=1$), $x$ слагаемых $11$ и $y$ слагаемых $1$. Сумма равна $130$, а всего на доске $n$ единиц (в числе $111$ три единицы, в числе $11$ — две):

$$\{\begin{array}{l}111z+11x+y=130,\\ 3z+2x+y=n.\end{array}$$

Вычтем из первого равенства второе:

$$108z+9x=130-n,n=130-108z-9x.$$

И наоборот, если целые неотрицательные $z⩽1$, $x$, $y$ удовлетворяют первому равенству, то, выписав подряд $z$ чисел $111$, $x$ чисел $11$ и $y$ единиц и поставив между ними плюсы, мы получим сумму $130$ из $n=3z+2x+y$ единиц. Так что задача сводится к поиску таких троек.

а) Да, можно. При $n=40$ получаем $108z+9x=90$. Значение $z=1$ не подходит, так как $108>90$. При $z=0$ находим $x=10$, а тогда $y=130-11\cdot 10=20$.

Пример: десять слагаемых $11$ и двадцать слагаемых $1$:

$$\underset{10}{\underbrace{11+11+\dots +11}}+\underset{20}{\underbrace{1+1+\dots +1}}=110+20=130.$$

Единиц на доске $10\cdot 2+20=40$, как и требуется.

б) Нет, нельзя. При $n=80$ получаем

$$108z+9x=50.$$

Левая часть делится на $9$ (оба слагаемых кратны $9$), а $50$ на $9$ не делится. Противоречие, такой суммы не бывает.

в) Какие $n$ возможны. Разберём два случая.

Если $z=0$, то $y=130-11x⩾0$, откуда $x⩽11$, то есть $x\in \{0;1;\dots ;11\}$. Тогда $n=130-9x$ принимает $12$ значений:

$$130,121,112,103,94,85,76,67,58,49,40,31.$$

Если $z=1$, то $11x+y=19$, откуда $x⩽1$. При $x=0$ имеем $y=19$ и $n=3+19=22$; при $x=1$ имеем $y=8$ и $n=3+2+8=13$.

Других вариантов нет, поэтому $n$ может быть только одним из этих $14$ чисел. Числа $13$ и $22$ меньше $31$, так что все $14$ значений различны.

Все они достигаются. Каждому найденному значению соответствует конкретная тройка $(z;x;y)$, а по ней сумма выписывается сразу. Например, для $n=13$: $111+11+1+1+1+1+1+1+1+1=130$; для $n=22$: $111$ и девятнадцать единиц; для $n=130-9x$ при $z=0$: $x$ слагаемых $11$ и $130-11x$ единиц.

Значит, подходят ровно $14$ значений $n$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $14$.