ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Пусть синих карточек $x$, красных $y$ ($x,y⩾1$). По условию наибольшее красное число равно $2x$, а наибольшее синее равно $y$.

Ограничение на красные карточки. На них различные чётные числа, большие $-72$ и не большие $2x$. Таких чисел всего столько, сколько чётных чисел от $-70$ до $2x$:

$$\frac{2x-(-70)}{2}+1=x+36.$$

Поэтому $y⩽x+36$.

Ограничение на синие карточки. Число $y$ написано на синей карточке, значит, $y$ делится на $3$. На синих карточках различные числа, кратные $3$, большие $-72$ и не большие $y$, то есть числа из ряда $-69,-66,\dots ,y$. Их

$$\frac{y-(-69)}{3}+1=\frac{y}{3}+24.$$

Поэтому $x⩽\frac{y}{3}+24$.

а) Да, может. Пусть одна синяя карточка с числом $3$ и три красные с числами $2$, $0$, $-2$. Синее число делится на $3$, красные — различные чётные, все больше $-72$. Наибольшее красное число $2=2\cdot 1$ — удвоенное число синих карточек, наибольшее синее $3$ — число красных карточек. Всего карточек четыре.

б) Нет, не может. Выше доказано, что $y⩽x+36$, то есть красных карточек не больше чем на $36$ больше, чем синих, а не на $60$.

в) Оценка. Подставим $y⩽x+36$ во второе ограничение:

$$x⩽\frac{y}{3}+24⩽\frac{x+36}{3}+24\iff 3x⩽x+108\iff x⩽54.$$

Тогда общее число карточек

$$x+y⩽x+(x+36)=2x+36⩽2\cdot 54+36=144.$$

Пример. Обе оценки достигаются при $x=54$, $y=90$. Возьмём

• $54$ синие карточки с числами $-69,-66,\dots ,87,90$ (все кратные $3$ от $-69$ до $90$, их $\frac{90+69}{3}+1=54$);
• $90$ красных карточек с числами $-70,-68,\dots ,106,108$ (все чётные от $-70$ до $108$, их $\frac{108+70}{2}+1=90$).

Все числа больше $-72$, на карточках одного цвета числа различны. Наибольшее красное число $108=2\cdot 54$ — удвоенное число синих карточек, наибольшее синее $90$ — число красных карточек. Всего $54+90=144$ карточки.

Значит, наибольшее количество карточек равно $144$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $144$.