Юра и Полина играют в числа. Полина выбирает несколько различных натуральных чисел от 20 до 80… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Задачи с сюжетом средняя 2026 развёрнутое

Юра и Полина играют в числа. Полина выбирает несколько различных натуральных чисел от 20 до 80 включительно и находит их произведение (если выбрано только одно число, то произведением считается само это число). Юра к каждому числу, выбранному Полиной, прибавляет единицу и находит произведение полученных чисел.

а) Может ли результат у Юры оказаться в два раза больше, чем у Полины?

б) Может ли результат у Юры оказаться в семь раз больше, чем у Полины?

в) В какое наибольшее целое число раз результат у Юры может быть больше, чем результат у Полины?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Пусть Полина выбрала различные числа $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ от $20$ до $80$ . Её результат $P = a_{1} a_{2} \cdot \dots \cdot a_{k}$ , результат Юры $Q = (a_{1} + 1) (a_{2} + 1) \cdot \dots \cdot (a_{k} + 1)$ . Их отношение

$\frac{Q}{P} = \frac{a _{1} + 1}{a _{1}} \cdot \frac{a _{2} + 1}{a _{2}} \cdot \dots \cdot \frac{a _{k} + 1}{a _{k}} = (1 + \frac{1}{a _{1}}) (1 + \frac{1}{a _{2}}) \cdot \dots \cdot (1 + \frac{1}{a _{k}}) .$

а) Да, может. Пусть Полина выбрала все числа от $20$ до $39$ . Тогда дроби сокращаются цепочкой:

$\frac{Q}{P} = \frac{21}{20} \cdot \frac{22}{21} \cdot \dots \cdot \frac{40}{39} = \frac{40}{20} = 2.$

б) Нет, не может. Каждый множитель $1 + \frac{1}{a _{i}}$ больше $1$ . Поэтому если добавить к выбранным числам ещё одно, отношение увеличится. Значит, отношение не больше, чем при выборе всех чисел от $20$ до $80$ :

$\frac{Q}{P} ⩽ \frac{21}{20} \cdot \frac{22}{21} \cdot \dots \cdot \frac{81}{80} = \frac{81}{20} = 4, 05 < 7.$

в) Оценка. По пункту б) отношение не больше $4, 05$ , поэтому целое отношение не больше $4$ .

Пример. Пусть Полина выбрала все числа от $20$ до $79$ . Тогда

$\frac{Q}{P} = \frac{21}{20} \cdot \frac{22}{21} \cdot \dots \cdot \frac{80}{79} = \frac{80}{20} = 4.$

Значит, наибольшее целое число раз равно $4$ .

Ответ: а) да; б) нет; в) $4$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20