ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — последовательности и прогрессии

Разбор — 4 балла

Пусть знаменатель прогрессии равен $q$. Второй член $128q$ — натуральное число, поэтому $q$ — положительная рациональная дробь. Запишем её несократимой: $q=\frac{p}{r}$, $p$ и $r$ натуральные, взаимно простые. Тогда $k$-й член равен

$$128q^{k-1}=\frac{2^7\cdot p^{k-1}}{r^{k-1}}.$$

Числа $p^{k-1}$ и $r^{k-1}$ взаимно просты, поэтому этот член натурален только тогда, когда $r^{k-1}$ делит $2^7$.

а) Да, может. Найдём, какой степенью $q$ должно быть отношение:

$$\frac{686}{128}=\frac{2\cdot 7^3}{2^7}=\frac{7^3}{2^6}={\left(\frac{7}{4}\right)}^3.$$

Возьмём $q=\frac{7}{4}$. Получаем прогрессию

$$128,224,392,686.$$

Все четыре числа трёхзначные и натуральные ($128\cdot \frac{7}{4}=224$, $224\cdot \frac{7}{4}=392$, $392\cdot \frac{7}{4}=686$), и чисел не меньше трёх.

б) Нет, не может. Пусть $496$ — $k$-й член, тогда

$$q^{k-1}=\frac{p^{k-1}}{r^{k-1}}=\frac{496}{128}=\frac{31\cdot 2^4}{2^7}=\frac{31}{8}.$$

Обе дроби несократимы, поэтому $p^{k-1}=31$. Число $31$ простое, значит, $k-1=1$: $496$ — второй член и $q=\frac{31}{8}$. Но в прогрессии не меньше трёх членов, а третий член равен

$$496\cdot \frac{31}{8}=62\cdot 31=1922$$

— четырёхзначный. Противоречие.

в) Если $q⩽1$, то все члены не больше $128$. Пусть $q>1$; тогда прогрессия возрастает, и наибольший член — последний. Пусть в прогрессии $N⩾3$ членов.

Оценка. Рассмотрим два случая.

Случай $N=3$. Третий член натурален, поэтому $r^2$ делит $2^7$, откуда $r\in \{1;2;4;8\}$, то есть $r$ делит $8$. Тогда $q=\frac{s}{8}$, где $s=\frac{8p}{r}$ — натуральное. Третий член

$$128\cdot \frac{s^2}{64}=2s^2⩽999\Rightarrow s^2⩽499\Rightarrow s⩽22,$$

и он не больше $2\cdot 22^2=968$.

Случай $N⩾4$. Четвёртый член натурален, поэтому $r^3$ делит $2^7$, откуда $r\in \{1;2;4\}$. Тогда $q=\frac{s}{4}$ с натуральным $s=\frac{4p}{r}$. Четвёртый член

$$128\cdot \frac{s^3}{64}=2s^3⩽999\Rightarrow s^3⩽499\Rightarrow s⩽7,$$

а из $q>1$ получаем $s⩾5$. Проверим три варианта:

• $q=\frac{5}{4}$: $128,160,200,250$; следующий член $250\cdot \frac{5}{4}=312,5$ не натурален, наибольший член $250$;
• $q=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$: $128,192,288,432,648,972$; следующий член $972\cdot \frac{3}{2}=1458$ четырёхзначный, наибольший член $972$;
• $q=\frac{7}{4}$: $128,224,392,686$; следующий член $686\cdot \frac{7}{4}=1200,5$ не подходит, наибольший член $686$.

Во всех случаях члены прогрессии не больше $972$.

Пример. Прогрессия со знаменателем $\frac{3}{2}$:

$$128,192,288,432,648,972$$

состоит из шести трёхзначных натуральных чисел и содержит $972$.

Значит, наибольшее возможное число равно $972$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $972$.