На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел сложная 2026 развёрнутое

На доске написано $n$ единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: $1 + 1 + 111 + 11 + 11 + 1 = 136.$

а) Можно ли получить сумму 128, если $n = 56 ?$

б) Можно ли получить сумму 129, если $n = 56 ?$

в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если $n = 56 ?$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Каждое слагаемое — число, записанное одними единицами: $1$ , $11$ , $111$ , $1111$ , …

Заметим полезный факт: число из $L$ единиц минус $L$ делится на $9$ . Действительно, $1 - 1 = 0$ , $11 - 2 = 9$ , $111 - 3 = 108 = 9 \cdot 12$ , $1111 - 4 = 1107 = 9 \cdot 123$ (вообще, число и его сумма цифр дают одинаковый остаток при делении на $9$ ). Поэтому сумма $S$ и число единиц $n$ всегда дают одинаковый остаток при делении на $9$ , то есть $S - n$ делится на $9$ .

а) Да, можно. Возьмём восемь слагаемых $11$ и $40$ слагаемых $1$ . Единиц использовано $8 \cdot 2 + 40 = 56$ , сумма

$8 \cdot 11 + 40 \cdot 1 = 88 + 40 = 128.$

(Как найти пример: так как $1111 > 128$ и $111 + 53 > 128$ , слагаемые могут быть только $1$ и $11$ ; если слагаемых $11$ ровно $x$ , то сумма равна $11 x + (56 - 2 x) = 56 + 9 x = 128$ , откуда $x = 8$ .)

б) Нет, нельзя. Разность $129 - 56 = 73$ не делится на $9$ , а по доказанному $S - n$ всегда делится на $9$ .

в) Слагаемое из пяти и более единиц не меньше $11111$ , и сумма стала бы пятизначной. Поэтому слагаемые — только $1$ , $11$ , $111$ и $1111$ . Пусть слагаемых $1111$ ровно $d$ .

Оценка. Если $d ⩾ 9$ , то эти слагаемые дают не меньше $9 \cdot 1111 = 9999$ . При $d = 9$ они используют $36$ единиц, и оставшиеся $20$ единиц дают ещё хотя бы одно слагаемое, так что сумма больше $9999$ . При $d ⩾ 10$ сумма не меньше $11110$ . В обоих случаях сумма пятизначная, поэтому $d ⩽ 8$ .

Остальные слагаемые ( $1$ , $11$ и $111$ ) используют $56 - 4 d$ единиц. Сравним каждое слагаемое с числом использованных в нём единиц:

$1 < 37 \cdot 1, 11 < 37 \cdot 2, 111 = 37 \cdot 3.$

То есть каждое такое слагаемое не больше, чем $37$ , умноженное на число его единиц. Значит, сумма всех слагаемых, кроме $1111$ , не больше $37 (56 - 4 d)$ , и

$S ⩽ 1111 d + 37 (56 - 4 d) = 963 d + 2072 ⩽ 963 \cdot 8 + 2072 = 9776.$

Пример. Возьмём восемь слагаемых $1111$ и восемь слагаемых $111$ . Единиц использовано $8 \cdot 4 + 8 \cdot 3 = 32 + 24 = 56$ , сумма

$8 \cdot 1111 + 8 \cdot 111 = 8888 + 888 = 9776$

— четырёхзначное число.

Значит, наибольшая четырёхзначная сумма равна $9776$ .

Ответ: а) да; б) нет; в) $9776$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20