ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Главное наблюдение. Пусть перед ходом есть $k$ кусков. За ход каждый из взятых кусков превращается в два, а остальные не меняются. Взять можно не больше $k$ кусков, поэтому после хода кусков не больше $2k$. Начинаем с одного куска, значит, после $t$ ходов кусков не больше $2^t$.

Чтобы разрезать линейку длиной $L$ см на куски по $1$ см, нужно получить $L$ кусков.

Куски, положенные друг на друга, можно сдвигать относительно друг друга, поэтому за ход каждый взятый кусок можно разрезать в любом нужном месте.

а) Да, можно. Каждым ходом берём все куски и режем каждый пополам:

$$16\to 8+8\to 4\cdot 4\to 8\cdot 2\to 16\cdot 1.$$

После четвёртого хода получаем $16$ кусков по $1$ см.

б) Нет, нельзя. За пять ходов получится не больше $2^5=32$ кусков, а нужно $100$ кусков по $1$ см.

в) Оценка. Нужно получить $200$ кусков. За $7$ ходов получится не больше $2^7=128<200$ кусков, значит, ходов не меньше $8$.

Пример. Покажем, что $8$ ходов хватает. Каждым ходом берём все куски длиннее $1$ см и режем каждый на две почти равные части: кусок длиной $l$ — на куски $\lceil \frac{l}{2}\rceil$ и $\lfloor \frac{l}{2}\rfloor$ (при чётном $l$ — пополам, при нечётном — на части, отличающиеся на $1$). Состав кусков после каждого хода:

$$\begin{array}{cl}\text{Ход}& \text{Куски}\\ 1& 2\text{ по }100\\ 2& 4\text{ по }50\\ 3& 8\text{ по }25\\ 4& 8\text{ по }13,8\text{ по }12\\ 5& 8\text{ по }7,24\text{ по }6\\ 6& 8\text{ по }4,56\text{ по }3\\ 7& 72\text{ по }2,56\text{ по }1\\ 8& 200\text{ по }1\end{array}$$

Например, на четвёртом ходу каждый кусок $25$ режем на $13$ и $12$, на пятом $13\to 7+6$ и $12\to 6+6$, на шестом $7\to 4+3$ и $6\to 3+3$, на седьмом $4\to 2+2$ и $3\to 2+1$. После восьмого хода все $200$ кусков имеют длину $1$ см.

Значит, наименьшее число ходов равно $8$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $8$.