ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Среднее арифметическое четырёх чисел — целое тогда и только тогда, когда их сумма делится на $4$; для семи чисел — когда сумма делится на $7$.

Ключевое утверждение: все числа на доске дают одинаковый остаток при делении на $4$ и одинаковый остаток при делении на $7$.

Возьмём любые два числа $a$ и $b$ с доски и ещё три других числа $c,d,e$ (чисел десять, так что это возможно). Суммы $a+c+d+e$ и $b+c+d+e$ делятся на $4$, значит, делится на $4$ и их разность

$$(a+c+d+e)-(b+c+d+e)=a-b.$$

То есть $a$ и $b$ дают одинаковый остаток при делении на $4$. Точно так же, дополнив $a$ и $b$ одними и теми же шестью другими числами (всего нужно $2+6=8⩽10$ чисел), получаем, что $a-b$ делится на $7$.

Обратно, если все числа дают один и тот же остаток $r$ при делении на $4$, то сумма любых четырёх даёт тот же остаток, что $4r$, то есть делится на $4$. Аналогично с семёркой и делимостью на $7$.

а) Нет, не могут. $567=4\cdot 141+3$ даёт остаток $3$ при делении на $4$, а $1414=4\cdot 353+2$ — остаток $2$. Это противоречит ключевому утверждению.

б) Нет, не может. Если на доске есть $567$, то все числа дают остаток $3$ при делении на $4$. Найдём, какие остатки при делении на $4$ дают квадраты:

• $k=2t$: $k^2=4t^2$ — остаток $0$;
• $k=2t+1$: $k^2=4t^2+4t+1=4t(t+1)+1$ — остаток $1$.

Квадрат натурального числа никогда не даёт остаток $3$ при делении на $4$, поэтому квадрата на доске быть не может.

в) Оценка. На доске есть $1$, поэтому все числа дают остаток $1$ при делении на $4$ и при делении на $7$. Значит, $n^2$ даёт остаток $1$ и при делении на $4$, и при делении на $7$, причём $n^2\ne 1$, так как $n>1$.

Из пункта б): $n^2$ даёт остаток $1$ при делении на $4$ только при нечётном $n$. Переберём нечётные $n>1$ и найдём остатки $n^2$ при делении на $7$:

$$\begin{array}{ccccccc}n& 3& 5& 7& 9& 11& 13\\ n^2& 9& 25& 49& 81& 121& 169\\ \text{остаток от деления на }7& 2& 4& 0& 4& 2& 1\end{array}$$

При $n=3,5,7,9,11$ остаток не равен $1$, поэтому $n⩾13$.

Пример. Возьмём десять чисел вида $28k+1$, $k=0,1,\dots ,9$:

$$1,29,57,85,113,141,169,197,225,253.$$

Числа натуральные и различные, среди них есть $1$ и $169=13^2=28\cdot 6+1$. Все они дают остаток $1$ при делении на $4$ и при делении на $7$ (так как $28=4\cdot 7$). Сумма любых четырёх даёт остаток $4\cdot 1$ при делении на $4$, то есть делится на $4$; сумма любых семи даёт остаток $7\cdot 1$ при делении на $7$, то есть делится на $7$. Значит, все средние — целые.

Наименьшее значение $n$ равно $13$.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $13$.