ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Два числа дают одинаковый остаток при делении на $40$ тогда и только тогда, когда их разность делится на $40$. Поэтому всё сводится к делимости разности квадратов. По формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$(n+m{)}^2-n^2=((n+m)-n\left)\right((n+m)+n)=m(2n+m).$$

а) При $m=14$:

$$(n+14{)}^2-n^2=14(2n+14)=28(n+7).$$

Число $28(n+7)$ делится на $40$ тогда и только тогда, когда $\frac{28(n+7)}{40}=\frac{7(n+7)}{10}$ — целое. Числа $7$ и $10$ взаимно просты, поэтому нужно, чтобы $n+7$ делилось на $10$, то есть $n$ оканчивалось цифрой $3$.

Подходит, например, $n=3$. Проверка: $3^2=9$ даёт остаток $9$ при делении на $40$, и $(3+14{)}^2=289=7\cdot 40+9$ тоже даёт остаток $9$.

б) По пункту а) подходят ровно те $n$, которые оканчиваются цифрой $3$. Трёхзначные числа от $100$ до $999$ разбиваются на $90$ десятков подряд идущих чисел ($100$–$109$, $110$–$119$, …, $990$–$999$), и в каждом десятке ровно одно число оканчивается на $3$. Это числа $103,113,\dots ,993$, их

$$\frac{993-103}{10}+1=90.$$

в) Двузначные $m<40$ — это $m=10,11,\dots ,39$. Нужно, чтобы $m(2n+m)$ делилось на $40$ ровно для $90$ трёхзначных $n$.

Нечётные $m$ не подходят. Если $m$ нечётно, то и $2n+m$ нечётно, их произведение нечётно и на $40$ не делится ни при каком $n$. Подходящих $n$ — ноль.

Чётные $m$. Пусть $m=2k$, тогда $5⩽k⩽19$ и

$$m(2n+m)=2k(2n+2k)=4k(n+k).$$

Это число делится на $40$ тогда и только тогда, когда $k(n+k)$ делится на $10$, то есть и на $2$, и на $5$. Посчитаем подходящие трёхзначные $n$, пользуясь тем, что среди $900$ подряд идущих чисел $100,\dots ,999$ ровно половина имеет каждую чётность, ровно $\frac{900}{5}=180$ дают каждый остаток при делении на $5$ и ровно $90$ дают каждый остаток при делении на $10$.

• $k$ делится на $10$ ($k=10$, $m=20$): $k(n+k)$ делится на $10$ при любом $n$ — подходят все $900$ чисел.
• $k$ чётное, но не делится на $5$ ($k=6,8,12,14,16,18$): делимость на $2$ есть всегда, а на $5$ произведение делится только при $n+k⋮5$. Подходят $n$ с одним остатком при делении на $5$ — их $180$.
• $k$ нечётное и делится на $5$ ($k=5,15$): делимость на $5$ есть всегда, а на $2$ — только при чётном $n+k$, то есть при нечётном $n$. Подходят $450$ чисел.
• $k$ не делится ни на $2$, ни на $5$ ($k=7,9,11,13,17,19$): тогда $k(n+k)$ делится на $10$ ровно когда $n+k$ делится на $10$, то есть $n$ даёт при делении на $10$ остаток, определяемый числом $k$. Как в пункте б), таких трёхзначных $n$ ровно $90$.

Значит, ровно $90$ трёхзначных $n$ получается только в последнем случае, то есть при

$$m=2k\in \{14;18;22;26;34;38\}.$$

Это $6$ чисел.

Ответ: а) например, $3$; б) $90$; в) $6$.