ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Каждое слагаемое — число, записанное одними единицами: $1$, $11$, $111$, $1111$, … Так как $1111>131$, слагаемые могут быть только $1$, $11$ и $111$. Слагаемое $111$ встречается не больше одного раза: два таких дали бы уже $222>131$.

Пусть в сумме $a$ слагаемых $1$, $b$ слагаемых $11$ и $c$ слагаемых $111$, где $c\in \{0;1\}$. Слагаемое $11$ использует две единицы, а $111$ — три, поэтому

$$n=a+2b+3c,a+11b+111c=131.$$

Вычтем из второго равенства первое:

$$131-n=9b+108c=9(b+12c).(\ast )$$

Значит, $131-n$ обязано делиться на $9$. Обратно, если $a,b,c$ — целые неотрицательные числа с $a+2b+3c=n$ и $b+12c=\frac{131-n}{9}$, то нужная расстановка плюсов существует.

а) Да, можно. При $n=50$ из $(\ast )$: $9(b+12c)=81$, $b+12c=9$, поэтому $c=0$, $b=9$, $a=50-2\cdot 9=32$. Пример: девять слагаемых $11$ и $32$ слагаемых $1$. Единиц использовано $9\cdot 2+32=50$, сумма

$$9\cdot 11+32\cdot 1=99+32=131.$$

б) Нет, нельзя. При $n=70$ получаем $131-70=61$, а $61$ на $9$ не делится, что противоречит $(\ast )$.

в) Какие $n$ возможны. По $(\ast )$ число $n=131-9m$, где $m=b+12c$ — целое неотрицательное. Кроме того, $n⩾1$, то есть $9m⩽130$ и $m⩽14$. Значит, $n$ — одно из чисел

$$5,14,23,32,41,50,59,68,77,86,95,104,113,122,131.$$

Значение $n=5$ ($m=14$) не подходит. Действительно, $b+12c=14$ даёт либо $c=0$, $b=14$ — это уже $28>5$ единиц, либо $c=1$, $b=2$ — это $3+2\cdot 2=7>5$ единиц. В обоих случаях единиц не хватает. Остаётся не больше $14$ значений.

Все остальные значения достигаются.

• При $m=0,1,\dots ,11$, то есть $n=131-9m⩾32$, берём $c=0$, $b=m$ и $a=n-2m=131-11m⩾131-121=10$. Сумма равна $a+11b=131-11m+11m=131$.
• При $n=23$ ($m=12$) без слагаемого $111$ не обойтись: при $c=0$ было бы $b=12$, а это $24>23$ единицы. Берём $111+\underset{20}{\underbrace{1+\dots +1}}=131$, единиц $3+20=23$.
• При $n=14$ ($m=13$): $111+11+\underset{9}{\underbrace{1+\dots +1}}=131$, единиц $3+2+9=14$.

Итак, сумму $131$ можно получить ровно для $14$ значений $n$: $14,23,32,\dots ,131$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $14$.