ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть девочки фотографировали $k⩾2$ дней. В $i$-й день Маша сделала $m+i-1$ фотографий, а Наташа — $n+i-1$, то есть каждый день Наташа делала ровно на $n-m$ фотографий больше. За $k$ дней разница составила

$$k(n-m)=1001=7\cdot 11\cdot 13.$$

Значит, число дней $k$ — делитель числа $1001$.

а) Да, могли. При $k=7$ нужно $n-m=143$. Возьмём $m=1$, $n=144$. Маша сделала

$$1+2+\dots +7=28,$$

Наташа —

$$144+145+\dots +150=7\cdot 147=1029$$

фотографий, и $1029-28=1001$.

б) Нет, не могли. При $k=8$ число $8(n-m)$ чётное, а $1001$ нечётное.

в) Пусть $L$ — число фотографий Маши в последний день, $L=m+k-1⩽39$. Наташа сделала на $1001$ фотографию больше Маши, поэтому достаточно найти наибольшее общее число фотографий Маши.

Оценка. Так как $m⩾0$, имеем $k⩽L+1⩽40$. Делители числа $1001$: $1,7,11,13,77,91,143,1001$. Условиям $2⩽k⩽40$ удовлетворяют только $k=7$, $11$, $13$.

Маша за все дни сделала $L+(L-1)+\dots +(L-k+1)$ фотографий — это сумма арифметической прогрессии из $k$ членов:

$$\frac{k(L+(L-k+1))}{2}=\frac{k(2L-k+1)}{2}⩽\frac{k(79-k)}{2}$$

(при $L⩽39$). Подставим возможные $k$:

$$k=7:\frac{7\cdot 72}{2}=252;k=11:\frac{11\cdot 68}{2}=374;k=13:\frac{13\cdot 66}{2}=429.$$

Значит, Маша сделала не больше $429$ фотографий, а Наташа — не больше $429+1001=1430$.

Пример. Возьмём $k=13$, тогда $n-m=1001:13=77$. Чтобы оценка достигалась, нужно $L=39$, то есть $m=39-12=27$ и $n=27+77=104$. Маша фотографировала с $27$ до $39$ фотографий в день (в последний день $39<40$) и всего сделала

$$27+28+\dots +39=\frac{(27+39)\cdot 13}{2}=429.$$

Наташа — с $104$ до $116$ фотографий в день, всего

$$104+105+\dots +116=\frac{(104+116)\cdot 13}{2}=1430,$$

и $1430-429=1001$.

Значит, наибольшее число фотографий Наташи равно $1430$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $1430$.